106

§. 6. Seine Quadratur-Methode.

fache des Sectors, dessen Ecke von ihrem Schwerpunkte gebildetwird u. s. w. Dass dieses Theorem, für welches Tschirnhaus keinenBeweis giebt, richtig ist, lehrt folgende Betrachtung. Es sei MNdie Abscissenaxe, die Ordinaten seien senkrecht auf derselben, undder Coordiuaten - Anfangspunkt in M; die Coordinaten der 4 Brenn-punkte A, B, C, D seien bezüglich §,, 77 , ; £ 2j ; g 3j ^ ; g 4;

die der Curvenpunkte F, G bezüglich x,, y, ; x 2 , y 2 . Nun istFläche FAG = KFGS + PAFIt — PAGS

und, da

PAFE = ^-^(x,-g,);PAGS= y2 ±^, (x 2 -&)

= /ydx;•'n

BFGS =ist, SectorFAG

Nun ist

EFGS

=ß

= EI= El

IS =Jjä

ydx + ^ V '- ( x r£i )~ y ' 2 +^ (x 2 g 2 ) a)

Ferner ist SectorFBG= EFGS — EFO, — SG0 2 + 0,B0 2oder SectorFBG= EFGS—(EFO,-P 2 B0,)-(SG0 2 -P 2 B0 2 ) «)

«1)

und cs verhält sich P 2 0, : EO, = P 2 B : EF

oder P 2 0, : P 2 0, + EO, = P 2 B : P 2 B + EF

oder P 2 0, : § 2 — x, = P 2 B : P 2 B + EF

.1.0 r,o,- p ^-Ä.. p.b, eo,=<&-,,)- r,o, . ue

also EFO, - P 2 BO, = * . . EF 2 - 1 . . r 2 B 2

& — x,

P 2 B + EF ' 2 ' P 2 B + EF

= I ih — * 1 ) (BF — P 2 B)

oder, da P 2 B = — t ? 2 ist, EFO, — P 2 BO, = £ (| 2 — x,) (y, -f r , 2 )

= - Zl t^ ■(*«-&) «>)

Ferner verhält sich P 2 0 2 : S0 2 =P 2 B : SGoder P 2 0 2 : x 2 — g 2 = P 2 B : P 2 B + SG

also ist

P2 ° 2 P 2 B + SG ’ PaB J S ° 2 ~P 2 B + SG' SG;

folglich SG0 2 -P 2 B0 2 = J'=| ö (SG 2 -P 2 B 2 ) = • (SG - P 2 B)(x 2 -&)

oder SG0 2 _P 2 B0 2 = y2 + ^ (x 2 - £,) « 3 )

also haben wir nach a), «,), «, 2 ) ; , h )

Sector FBG =j/ydx + y '-+^(x, _ ( X 2 _g 2 ) b) .

Ferner ist Sector FCG = EFGS—EFO, -b SG0 2 + 0, C0 2

Sector FCG = EFGS - (EFO, - P 3 C0, )+(SG0 2 -P 3 C0 2 ) ß).

oder

Nun ist

EFGS =j/ydx

ß \)»