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§. 6. Seine Quadratur - Methode.

oder Sector FEG =^ydx + — ^ - • ( x i —g)— j2 + ^ (x 2 —g); e).

Denkt man sich nun in den Brennpunkten A, B, C, D gleicheMassen befindlich, so sind die Coordinaten des Schwerpunktes E

V _ ?i + äs + £> + &. „ _ Vi + Vi + Va + Vis —.. 4 4

und, wenn man diese "Werthe in e) einsetzt, ergiebt sich nachAusführung der Eechnung:

Sector FEG = /ydx%Jx x

,yi x i , x i vi+Vi+vs + ^i yi ä+?2+?3 + ?t’ r ~ 2 ‘ 2 ' 4 2 ' 4

_ J f 2 X 2 _ x 2 7/ 1 r ii , ^2 gl 4~ §2 + g 3 + g- t

2 2 ' 4 2 ' 4

Durch Vergleichung von A) und B) ergiebt sich nunmehr sogleich:

FAG + FBG + FBG + FDG = 4 . FEGund man sieht leicht ein, dass sich dasselbe in der That in derAllgemeinheit aussprechen lässt, wie Tschimhaus es thut. JacobBernoulli bemerkt über dieses Theorem in seiner pag. 102 erwähntenAbhandlung in den Act. Erud. Mensis Junii 1696, pag. 260 treffend,das Theorem habe mit der Erzeugung der Curven durch „Foci”nichts zu thun, es gelte dasselbe daher für alle, möchten sie con-struirt sein, auf welche Art man auch will. Uebrigens spricht auchJacob Bernoulli den Satz selbst präciser aus, nämlich so: „sumptisetonim in quacunque curva quibuseunque & quotcunque punctis A,B, C, D, eorumque centro gravitatis E, semper vcl summa trilineo-rum AFG, BFG, CFG, DFG, vel (si punctorum nonnulla ad con-vexas curvae partes assumantur) differentia trilineorum quae abuna, & eorum, quae ab altera parte sunt, trilinei EFG totuplexerit, quot assumpta puncta fuerint”. Auch gebe es ausser demSchwerpunkte E noch unzählig viele andere, dieselbe Eigenschaftbesitzende Punkte, die sich in einer durch E gehenden Gleich-gewichtsaxe befänden. Auch hierin muss man Bernoulli Becht geben,denn, sehen wir davon ab, dass E der Schwerpunkt von A, B, C, Dsein soll, und suchen den geometrischen Ort der Punkte E, fürwelche die Gleichung gilt: 4FEG = FAG + FBG + FCG + FDG,so. haben wir nach A) und e):

4 ■ [-~r-’ • (*. - a - ?. (* - a] = 4.

+ (t/i +7?2+7?3+%)— y 2 '(g, +& + §,+&) —4 . ? 2 2 X?

— f Oh +%+%+%) + ^ 2 (g, + g 2 + g 3 +g 4 ),

wo g, ij die Coordinaten von E sind. Diese Gleichung lässt sichauch so schreiben: