§. 6. Seine Quadratur - Methode.
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4 [yi x i — yi § + fj^-i — ri% —y 2 x 2 + y 2 £— v x 2 + 77g] =
4 (yi x i - y 2 x 2 )+(x, —x 2 )(i/, +172+773+ 5 7 *)-- (yi ya) (£1 + £ 2 +S 3 +g 4 ) ;oder 4 [77 (x, — x 2 ) — g(y, — y 2 )] = (x, — x 2 ) (77, + t; 2 + ^ + r^)
—(yi —ya) (£i + £2 + £3 + £4)
Oder (*, _ „) , _ (ri _ ft) s = (*,_ *) . » + * + Ü + JS-
/ \ £l + & + §3 + &
—(yi —72) • 4 >
°M», -*»)[■>-^ l +^+7 > + ’‘]=(T,-rj[Sr- i5+6, t &±& ]-
■Kies ist aber die Gleichung einer geraden Linie mit den laufendenKoordinaten g, ?/; und zwar geht dieselbe durch den Schwerpunkt,
denn für , = *+ *-ergiebt sich £= & + ^ ±A + ^
Auch Johann Bernoulli machte gleichzeitig mit seinem Bruder inden Act. Erud. Mensis Junii 1696 pag. 264 (s. oben pag. 103) daraufaufmerksam, dass dieser Satz Tschirnhausens nicht blos für diedurch Eoci beschriebenen Curven gelte, sondern auch für alle anderen,selbst für solche, die aus freier Hand („libera manu”) gezogen seien,Worauf Tschirnhaus in den Act. Erud. Hensis Hovembris 1696( s - oben pag. 104) antwortet: „Quod vero Dn. Joh. Bernoulli sequentia^erba: sese extendens ad omnes curvas, sive sint pertocos, sive aliter quomodocunque, & si vis, liberaaianu descriptae, innucre videntur in ea ipsum esse sententia,non omnes curvas per focos describi posse, ejus contrarium faciledemonstrari potest”. Natürlich erwiderte Bernoulli in den Act.Erud. Hensis Hartii 1697, pag. 113 (s. oben pag. 104), er beharrebei seiner Meinung; wenn er aber gesagt habe, der Satz gelte füralle Curven, nicht blos für solche, die durch Eoci erzeugt seien, sofolge daraus nicht die Behauptung, die ihm Tschirnhaus unter-schiebe, es könnten nicht alle Curven durch Foci construirt werden;übrigens könne ja oft eine und dieselbe Curve auf sehr verschiedeneArten gebildet werden, z. B. die Ellipse. Tschirnhaus entgegnethierauf nochmals in den Act. Erud. Mensis Maji 1697, pag. 220( s - oben pag. 105), er habe nicht gesagt, Bernoulli sei der Meinung,n icht alle Curven könnten durch Eoci gebildet werden, sondernhur, er scheine dieser Meinung zu sein, und diese sei nicht richtig.
Endlich gehört noch hieher ein in den Act. Erud. Mensis Martii 1697,Po®- 113 unter der Ueberschrift: „ftuadratura universalis per seriesinfinitas, simplici transpositione rectarum linearum formatas, per• T.” aufgestellter Satz. Derselbe lautet dahin: Es sei ABGK *)0111 beliebiger Elächenraum, nun werde die Gerade BK gezogen,Ut ' 4 zu ihr parallel solche Linien, wie FGHJ; auf jeder derselben
. ’) In den Act. Erud. ist diese Fläche, wohl durch einen Druckfehler, durch
ABGJK bezeichnet.