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§. 6. Seine Quadratur - Methode.

werde EH = GJ (Eig. 37 ) gemacht, so entstehe eine Curve CHK;nun werde CK gezogen, und zu dieser wieder parallele Gerade,auf deren jeder wieder ebenso von AC und LK aus gleiche Stückeabgetragen werden, wie es in der Curve BGK geschehen ist, sodass eine neue Curve CHK entstehe u. s. w., dann verhalte sichdas Kechteck ABLK zum krummlinig begrenzten Saume BGK wie

2AB zu AB + BC + CD + DE +-&c. Wenn der erstere Kaum

absolut quadrirbar sei, so gehe die imendliche Seihe in eine endlicheüber, dies geschehe z. B. „in parabolis infinitis”, d. h. wohl, wennBGK sowohl, als auch CHK u. s. w. lauter Parabeln seien. Beinäherer Betrachtung erweist sich dieser Satz, welchen Tschirnhausnicht weiter beweist, als einen Widerspruch in sieh enthaltend.Denn ziehen wir zu BK Parallelen durch die Punkte E, F], E 2u. s. w., so erhalten wir nach Tschirnhausens Angabe, da EG = JG,Ei H] = J, G[, E 2 H 2 = J 2 G 2 u. s. w. sein soll, nach einander dieneuen Curvenpunkte H ,H,, H 2 u. s. w., ist endlich F der Punkt, vonwelchem aus eine neue zu BK parallel gezogene Gerade die Curve BGKin G berührt, so erhält man den Punkt H, der der äusserste Punktder neuen Curve ist, geht man nun mit den Parallelen wiederrückwärts, so ergiebt sich, daE 2 H 1 =J 2 Gj ; sein soll, der Punkt H^,da F, H s = J, G s sein soll, der Punkt H 5 , da FH C =JG 0 sein soll,der Punkt H 0 u. s. w. Nimmt man endlich als Ausgangspunkt derParallelen einen Punkt, der unendlich nahe an B liegt, so erhältman auf ihr zwei neue Curvenpunkte, die unendlich nahe an Kund B sich befinden. Die neue Curve geht also durch K und B,und da die dritte Curve aus der zweiten ebenso construirt wird,wie diese aus der ersten, so geht auch die dritte durch B und K,und folglich jede weitere. Es fallen also nothwendig die PunkteC, D u. s. w., von denen Tschirnhaus spricht, mit B zusammen, so

dass eine unendliche Seihe AB + BC + CD +_ nicht entstehen

kann. Wählt man z. B. für die gegebenene Curve BGK einenKreisquadranten, so erhält man als erst daraus abgeleitete, wie mandurch Kechnung leicht findet, eine durch B und K gehende Hyperbel4 t /~2 4 1/^2

mit den Haihaxen • * ™d 3^^ • r, wenn r

der Kreishalbmesser ist. Um den Mittelpunkt der Hyperbel zufinden, hat man durch B eine gegen BA um einen Viertelrechtengeneigte Gerade zu ziehen, auf dieser von B aus die Strecke

2r

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abzutragen und in dem so erhaltenen Punkte

KVT+I•' I K2

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auf diese Gerade ein Loth von der Länge

5 1 / 2 + 9 , v £1 '

zu errichten. Wählt man für BGK eine Parabel, deren Scheitel inB hegt, und deren Gleichung für BA als Abscissenaxe y = j/^pxist, so erhält man als BGK wieder eine durch B und K gehendeParabel mit demselben Parameter p. Um den Scheitel derselben