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§. 7. Seine Rectifications - Mothode.

also

•(!

V

, V 1-COsff\

: + l •- J

_p K 2 Vl — c os ff , ^

8 4 1 I 1+cosff I 1+cosff M 1 +cosff ' 1 1 + cosff. __and ebenso, -wenn S den Bogen AE, P den Parameter dieser Parabelbezeichnet,

V 1 —cos ff (V

S-^l i T-7-^rb:' rr,.;,,«. + 1 \ \ +

0 )

_P V ~ 2

" 41_\ 1+cosff

/V~ 2 p—cosff\

\ I 1 + cos ff 1 1 + cos ff /

Resultat auch

1 + cos ff ' ‘ M 1 + cos ff

also verhält sich S : s = P : p. Man hätte dieserhalten, wenn man in die bekannte Rectifieationsformel der Parabelfür rechtwinklige Coordinaten, deren Anfangspunkt im Scheitel liegt,und welche lautet:

Kx Kp + 4 x p

8 =- 2 - f 4

eingesetzt hätte die Werthe

x = — — p cos ff

2 J/x + Kp + 4 x

Vv

*)

oder, da p =

P

2

1 + COS ff'

p 1 — cos ff4

p + 4 x = p-

1 + cos ff ’ y ' r 1 + cos ff’

Man würde auf diese Weise dieselben Ausdrücke für s und S er-halten haben, aus denen die Richtigkeit von Tschimhausens Be-hauptung folgt. Wenn derselbe aber fortfährt: „Keque absolutenecesse est, ut eundem focum habeant; potest enim punctum adlibitum assumi, & nihilominus tarnen ratio, quam curvae ad se invicemhabent, determinari”, so ist diese Behauptung, wenigstens in derAllgemeinheit, wie Tschirnhaus sie aufstellt, nicht richtig. Denn wer-den die Parabeln nicht mit dem Brennpunkt C, dessen Entfernung

von B = ~, von A

p

— ist, auf einander gelegt, sondern mit einem

anderen Punkte, dessen Entfernung von B = q, von A = Q ist,

so ist x = q — p cos ff; y = p sin ff,

also p2 s i n 25. _ — pp cos ^ _

folglich p = - . ~P cos ff db V 4 pq sin 2 ff + p 2 cos 2 ff

2 B in 2 ff

Da man bei Annahme des — Zeichens vor dem Wurzelausdruck fürff = 0, p — 00 erhält, so ist das + Zeichen zu nehmen. (Zwar

liefert dasselbe für ff = 0 den unbestimmten Werth p = ~allein mit Hülfe der bekannten Methode überzeugt man sich leicht,dass der Werth des unbestimmten Ausdrucks — = 2q, also für ff= 0, p = q ist) Es ist also