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§. 7. Seine liectifications - Methode.

Lehrsatz, dass die Bögen AE, BD sich verhalten wie P zu p> weullein Gleiches mit den Strecken Q und q der Fall ist, ohne weitereRechnung sogleich aus dem soeben von Jae. Bernoulli ausgesprochenenSatze, welchen die s. g. neuere Geometrie gewöhnlich so fasst: Inzwei ähnlichen Systemen haben jede zwei homologe Linien ein unddasselbe (constante) Vcrhältniss. Denn die Parabelstücke AE, BDsind dann homologe Linien zweier ähnlicher Systeme, deren jedeseine Parabel enthält.

Es ist bereits oben erwähnt worden, dass Tschirnhaus im Be-sitze einer Methode zu sein versicherte, mittelst welcher er von demv °n einer geometrischen Curve begrenzten Baume durch eine andereCurve ein solches Stück abschneiden könne, dass beide Flächen eingegebenes Yerhältniss hätten (s. pag. 96). Vermuthlich ward erdadurch auf den Gedanken geführt, Analoges rücksichtlich der Bogen-länge zu versuchen. Denn er theilt in den Act. Erudit. MensisHovembris 1695, pag. 489 (s. pag. 100), mit, er sei im Besitze einerMethode, „in qualibet curva, data portione ejusdem, aliam semperas signandi, quae datam rationem ad priorem obtinet”. Als Beispielgiebt er folgendes: Auf einer Parabel (Fig. 39) sei ein Stück CD,u nd ausserdem zwei beliebige Gerade GH, JK gegeben, es soll aufder Parabel ein solches Stück EF abgeschnitten werden, dass sichVerhält CD : EF = GH : JK. Diese Aufgabe löst Tschirnhaus,ohne sein Verfahren zu begründen, folgendermaassen: Man construirezwei vom Brennpunkt B ausgehende Leitstrahlen BE, BF von solcherLänge, dass sich verhält BC : BE = GH 2 : JK 2 und BD : BF= GH 2 : JK 2 , so sei das zwischen ihren Endpunkten befindlicheParabelstück das gesuchte. Dies ist offenbar falsch. Denn wäredieses Verfahren richtig, so müssten sich zwei Parabelstücke CD,EF verhalten wie die Quadratwurzeln je zweier begrenzender Leit-strahlen. Denn der Behauptung nach verhält sich CD : EF — GH: JKfind der Construction nach BC : BE = GH 2 : JK 2 oder BD : BF

GH 2 : JK 2 , also müsste sein CD : EF = l^BC : l^BE oderCD : EF = VBÖ : KBF. Nun folgt aber aus der Polargleichung

der Parabel

P

2

1 -|- cos 9

1 + cos 9 — | ; 12 o

■ cos 9 =

_ 4 P

2p

2(1 VT

Werden diese Werthe in die Gleichung ©) auf pag. 114 eingesetzt,so erhält man als Ausdruck für einen vom Scheitel an gerechneten^arabelbogen: —

s

bj:;| v-bi; ■ i v)'

Heissen nun die Leitstrahlcn BC, BD BE, BF bezüglich p„ p 2 ,93, Pi, die Bögen CD, EF, bezüglich A, B, so ist