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§. 7. Seine Kectifications - Methode.

1698, pag. 261: „Joh. Bernoulli investigatio algebraica arcuum Pa-rabolicorum assignatam inter se rationem habentium. DemonstratioIsochronismi Descensuum in Cycloide &c.” auf folgende Weise: Ergeht von zwei die Hyperbel betreffenden Sätzen aus. Der erste istder pag. 120 bewiesene: Wenn die Abscissen auf der Asymtote einergleichseitigen Hyperbel in geometrischer Proportion stehen, so sinddie Plächenstücke gleich. Verhält sich also, in Pig. 40b, AK : AL7 =AQ: AT, so ist Fläche KVWL = Fläche QYZT. Der zweite SatzIst der pag. 103 und 104 bewiesene: Parabelstücke verhalten sich wiePlächenstücke der Hyperbel, aber nicht wie die soeben genanntenPlächenstücke zwischen Hyperbel und Asymtote, sondern wie diePlächenstücke zwischen Hyperbel und conjugirter Axe. Fände ersteresstatt, so wäre die Construction zu einem gegebenen Parabelbogene inen m mal so grossen zu finden, sehr leicht. Es sei nun GANe ine Parabel, AD der halbe Parameter, AX die Axe, BC ein Parabel-bogen ; gesucht werde ein anderer Parabelbogen MH von der Be-schaffenheit, dass sich verhält Bogen BC : Bogen MN = 1 : n, dassalso MN n mal so gross ist als BC. Man ziehe nun RAd J_ AXltn Scheitel A und beschreibe eine gleichseitige Hyperbel mit domMittelpunkt A und der Halbaxe AD. Diese Hyperbel sei JDZ. Nunist die Hyperbeliläche HRSJ = ASJD — ARHD = AC. AD — AB. AD(nach pag. 104) = BC . AD, ebenso die Hyperbelfläche YadZ =MN . AD. Um also ein solches MN zu finden, welches n mal sogross ist als BC, hat man nur eine solche Hyperbelfläche VadZ zusuchen, die n mal so gross ist als HRSJ. Es seien nun AG undAT die Asymtoten, DE, HF, JG die auf sie errichteten Ordinaten,und dio Abscissen AK, AL, AQ, AT vei-halten sich alle wie AF: AG,es sei also

AK : AL = AL : AQ = AQ : AT = AF : AG,so sind nach dem Obigen nicht nur die Hyperbelflächen KVWL,LWYQ, QYZT, (welche kurz „Hyperbeltrapeze” heissen sollen zumUnterschiede von den gleichnamigen geradlinigen Trapezen) einandergleich, sondern es sind auch die von den Hyperbelsehnen HJ, VW,WY, YZ und der Hyperbelcurve gebildeten Segmente HJ, VW,WY, YZ alle einander gleich. Denn es ist

Segment VW= Trapez KVWL — Hyperbcllrapez KVWLu ud Segment HJ — Trapez FHJG Hyperbeltrapez FHJG, •Uun ist wenn wir AD durch k bezeichnen,

AL’

(k* + ^

Vak ^

KV = ^ 2 -AK’

LW =

al so Trapez KVWL =

2fAL)

KL

AL + AK T (AL + AK) (AL —AK) k 2

AK." AL' 4 AK . AL *4

AL 2 —AK^ k 2”AK.AL ' 4’