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§. 7. Seine ltectifications-Methode.

. AG 2 —AF 2 k 2

Ebenso ist Trapez FHJG = -

Nun verhält sich AL : AK = AG : AF,

also ist AL = . AG.

AF

Setzt man diesen Werth in den Ausdruck für Trapez KVWL ein,so ergiebt sich

T ^ rwT AG 2 —AF 2 k 2Trapez KYWL _ — p A(J

folglich Trapez KYWL = Trapez FHJG.

Nun ist auch Hyperbeltrapez KVWL = Hyperbeltrapez FHJG,folglich auch Hyperheltrapez KVWL — Trapez KYWL =Hyporheltrapez FHJG — Trapez FHJGoder Hyperhelsegment YW = Hyperhelsegment HJ;

ebenso ist auch Segment WY und YZ gleich HJ, sie sind also alleeinander gleich. Man nehme nun auf der Asymtote AT (n + 1)solcher Abscissen AK, AL, AQ, AT, . . . ., dass sich verhält AK : AL= AL : AQ = . . . = AF : AG, so entstehen n Hyperbelscgmento.Die letzte Abscisse heisse AT, das letzte Segment YZ. Da nunletztere alle einander gleich sind, so ist ihre Summe YW -f- WY+ . . . + YZ = n. Segment HJ. Wird nun der erste Abschnittauf der Asymtote, AK, so genommen, dass, wenn die Ordinaten V«,W/?, . . . T<) auf die conjugirte Axe Ad gezogen werden, die Summeder (geradlinigen) Trapeze «VW/? + /?WY y + . . . +/WZ<5' dasn-fache ist vom (geradlinigen) Trapez EHJS, oder dass das (gerad-linige) Polygon «VW . . . Zäa n-mal so gross ist als das TrapezEHJS, so ist auch, da die Summe der Segmente YW + WY + ... YZn-mal so gross ist als Segment HJ das

(geradlinige) Polygon «YW . . . Zäa — Segmentensumme (VW+WY + ... + YZ) = n. [(geradliniges) Trapez EHJS — Segment HJ]oder Hyperbelfläche aYZä = n . Hyperbelfläche EHJS,folglich auch Parabelbogen MN = n . Parabelbogen BC.

Es kommt demnach die Aufgabe darauf hinaus, den ersten AbschnittAK so zu bestimmen, dass dje Summe der (geradlinigen) Trapeze«VW/? -f- ßWYy + yYZä, oder das (geradlinige) Polygon

“YW . . . Zäa n-mal so gross ist als das Trapez EHJS. Ein solchesAK, welches dieser Bedingung genügt, zu finden, lehrt folgendeBetrachtung: Da die Hyperbel gleichseitig ist, ist DE = AE. Essei nun DE = AE = a, die Unbekannte AK heisse x, so ist

a ' J b 2 . ZT . a 2 ^ 3 .

c 2 x’ C 3 X

C 2 X

= AT = - X ; .b ’ b 3 ’

Ferner ist

AD = aV2; VK=^- ; WL = -; YQ =

HF = JG = -; AL =

AQ

wenn AF = b, AG = c gesetzt werden.

AK —VKaY = VK]/ 2 + —y~ 2 ~