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§. 8. Seine Tangenten-Methode.

y 3 reducirten Gleichung. Der so erhaltene Bruch liefert nach Tschirn-haus den Werth der Strecke AB (Fig. 41) oder t; es ist also nachTschirnhaus

— 3a 3 + 2a 2 y •

2a 2 x + ax 2 — ay 2

also t = y~- — x. Nach einer bekannten Regel der Differenzial-

— 3x 2 — 2xy -)- y 2 — a 2 -f- 2axAllerdings ist diese Formel in dem von Tschirnhaus gewählten Bei-spiel richtig. Denn es ist t die Subtangente minus der Abscissc,dxy dy

rechnung ist aber, wenn f(x,y) = o ist,

df ( x >y)

dy dx

dx df(x, y)

dy

Da nun hier f(x,y) = y 3 -f- x 3 -j- x^—xy 2 -(- a 3 —a 2 y -j- a 2 x—-ax 2+ ay 2 =o ist, hat man demnach

^dx_ ^3y 2 -(-x 2 2xy-a 2 + 2ay_—3y 3 —x 2 y+2xy 2 +a 2 y—Say 2

dy

^3x 2 —y 2 + 2xy + a 2 —2ax 3x 2 —y 2 + 2xy + a 2 —2ax

-3y 3 -3x 3 -)- 3xy 2 —3x 2 y 2ay 2 + 2ax 2 -(- a 2 y— a 2 *3x 2 — y 2 + 2xy + a 2 — 2axWird nun hier für y 3 sein Werth aus der Gleichung y 3 = — x 3— x 2 y + xy 2 — a 3 +a 2 y — a 2 x + ax 2 —ay 2 eingesetzt, so erhält man

dx

also t = y, —x =3 dy

3a 3 — 2a 2 y -f- 2a 2 x — ax 2 -)- ay 23x 2 —y 2 2xy -f- a 2 — 2ax

— 3a 3 -f-2a 2 y—2a 2 x + ax 2 —ay 2° der —3x 2 —■ 2xy + y 2 — a 2 -j- 2ax

also dieselbe Formel, die Tschirnhaus giebt. Einen Beweis derselbentheilt er nicht mit, und man bemerkt auch leicht, dass dies Verfahrenüberhaupt nur dann ein richtiges Resultat liefern kann, wenn in derGleichung alle Glieder vollständig vorhanden sind, die Summe derExponenten in allen dieselbe ist, nur eine einzige Constante vor-kommt, und diese symmetrisch an x und y geknüpft ist. Sind dieseBedingungen nicht alle zugleich erfüllt, so erhält man ein unrichtig 08Resultat, wie dies auch schon anderweitig bemerkt worden ist ')•Tschirnhaus fahrt nun folgendermaassen fort: „Ulterius autem osten-dam, eadem Methodo infinitarum curvarum ex mechanicis Tangentesdeterminari. Sit enim, (Fig. 42) quaecunque curva BDE, ac ponaturportio ejus BD aeqvalis x, DF verö sit aeqvalis y; formeturqvequaecunqvc curva BF, ex . gr juxta priorom aeqvationem y 3 + x+ xxy = xyy — a 3 -f-aay—aax -j- axx—ayy: ad determinandam ergoTangentem AF, curvae BFG sic progredior. Assumatur Fractio j uxtaantecedentia, eiqve addatur qvantitas x; eritqvc productum hoc acqvale

’) W eissenborn: „Die Principien der höheren Analysis in ihrer Entwickelungvon Leibniz bis auf Lagrange. Halle, bei H. W. Schmidt. 1856,” pag. 78.