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§. 8. Seine Tangenten - Methode.

folglich 1 . r[ = 1 . 7j -f- c(onst-),

daher — e 1 - 1 ? + c = r/ . e°

oder, wenn wir den constanten Factor e° mit k bezeichnen:r[ — k ?7 .

Es kann also, ganz abgesehen von den Bedenken, die bereits gegendie Formel erhoben worden sind, wenn BDE eine geometrische Gurvcist, BFG keine mechanische sein. Dagegen zeugt jedenfalls der Um-stand, dass Tschirnhaus einen Curvenbogen zur Abscisse nahm, voneiner freieren Auffassung der Cartesisehen Coordinaten - Methode.Uebrigens kam er später nochmals auf diese für mechanische Curvenaufgestellte Regel zurüek, ohne sie indessen auch dann wesentlichzu fördern ').

Es schliesst sich an diese seine Tangenten - Methode eine Regelzur Bestimmung der Maxima und Minima, welche aus diesem Grundehier ihren Platz finden mag. Tschirnhaus tlieilt sie mit in den Act.Erudit. Mensis Martii 1683, pag. 122, unter dem Titel: Nova me-thodus determinandi Maxima & Minima, Auctore D. T.” Sie bestehtin Folgendem: Man entwickele den Ausdruck für t nach der obenangegebenen Methode und setze den Nenner des so erhaltenen Bruches= o, so sei eine Wurzel der so erhaltenen Gleichung der Werthder Abscisse, für welche die Ordinate ein Maximum werde. Seiz. B. die Curvengleichung a 2 x 3 — 2ax 4 + x 5 = y 5 , so dass t =

2a 2 x 3 — 2ax 4

so

ergebe

3a 2 x 2 _8ax 3 -(- 5x*’ s ’ cl1 d ' c frag 140116 Abscisse aus der

Gleichung 3a 2 x 2 —8ax 3 -f 5x 4 = o. Wäre die Regel für die Bildungdes Werthes von t eine immer zu einem richtigen Resultate führende,so würde Tschirnhausens Methode nicht ohne Bedeutung sein. Jeden-falls lag ihr die richtige geometrische Bemerkung zu Grunde, dass,wenn y einen Maximum-Werth erreicht, an dieser Stelle der Werthvon t = oo sein muss (Fig. 43) 2 ). Setzt man für t seinen richtigen

df(x,y.) df(x,y)

Werth: t =y

dx

dy

oder, da

__ df(x, y ) , r df (x,y)

7 dy X d x

df(x, y)dx

dy

dx

dx . dy_

df(x,y) 18 ’ ~ Y df(x, y)dy dx

Wird also der Nenner des Bruches

für t gleich Null gesetzt, so heisst dies, es wird

dffay).

dx

o gesetzt,'

>) Ohasles in seiner: „Geschichte der Geometrie; übersetzt ron Sohn<A c ”’pag. 110, citirt die „Memoires de l’Academie des Sciences, ann. 1702”; ich habemir dieselben leider nicht verschaffen können.

2 ) In den Act. Erudit. fehlt die zu dieser Abhandlung gehörige Figur; de lttInhalte nach muss dieselbe der Art gewesen sein, wie Fig. 43.