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§, 8. Seine Tangenten - Methode.

„Reiiexions de Mr. N. Fatio de Duilliers sur une methode de trouyerles tangentes de certaines lignes courbes, laquelle vint d’etre publieodang un Libre intitule Medieina Mentis”. Fatio gagt daselbst:„L’Auteur de la Medecine de l’Ame pTopose, dans son Traite, unemethode, qui n’est pas entierement exacte pour trouver les tangentesde diverses lignes courbes, qui se decrivent par des fils. Sans doutcil a juge que cette methode etoit bonne, faute d’examiaer assez uuepensde, qui paroit vraie par induetion, & qui semble dans la pratiquene s’dloigner pas beaucoup de la verite: mais qui neanmoins nerepond nullement ä l’exactitude geometrique, excepte dans quelquescas parti culiers, & lors que les lignes decrites par les Als sont plussimples. Supposons que a & d (Fig. 44) soient les foiers d’uneligne eourbe qui passe par le point c, & qui se decrive par le moiend’un fil, dont les deux extremitez soient attachees aux foiers <t & d-Je suppose iei que les extremitez du fil sont attachees ä ces foiers,afin que la ligne eourbe soit du nombre de celle que M r - de T. con-sädere; mais autrement ce que je vai demöntrer s’etend ä des lignescourbes, qui se peuvent decrire par un fil, dont une extremite estattachee au stile, & l’autre ä un des foiers; & meme il s’etend »des lignes courbes qui ne se peuvent point decrire par des fils, selonla maniere de M r - de T. a moins d’en omploier une infinite de retours.Soit X le nombre qui exprime la multitude des fils en ae, & fl 1°nombre qui exprime la multitude des fils en cd. Ainsi la ligne <tomultipliee par X, plus la ligne cd multipliee par fi, est egale ä toutela longueur du fil qui est donnee; & en general la nature de 1»eourbe est teile, que de tout autre de ses points tirant une ligneau foier a, & une autre ligne au foier d, la premiere multipliee p» rX, plus la seconde multipliee par q, sont toujours une meme sommc •Um nun die Tangente, oder vielmehr, worauf auch Tschimhaus aus-gegangen war, die Normale zu finden, stellt Fatio die Regel auf:Man beschreibe mit einem beliebigen Halbmesser cm = cp einenKreisbogen, der die von den Brennpunkten a, d zum Curvenpunkt ogehenden Leitstrahlen ac und de bezüglich in m und p schneidet,ziehe sodann die Sehne mp und theile sie im Punkte n so, dasssich verhält:

mn : pn — [i : X. t)

Es wird behauptet, dass eine durch n nach c gezogene Gerade <h eNormale, folglich eine in c auf sie senkrecht gezogene Gerade dieTangente in c sei. Um dies zu begründen, beweist Fatio, dass ausseie kein anderer Punkt der in c auf cn senkrecht stehenden Geradenee ein Punkt der Curve sein kann. Zunächst wird dies von einen 1beliebigen Punkte c auf der Seite von a gezeigt, nämlich so: Manziehe von m und p, bezüglich mo _L cn und pq j_ cn, ferner eb -1- ea ’eh || cd, eg _L eh, dh || eh, endlich ef\\ ca und «/"_ ef. Nun ist

A emo oo A ecb,

(denn /_ emo + mco — IR, und auch ecb - 1- /_ mco = 1also /_ emo — /_ ecb )