§. 8. Seine Tangenten - Methode.
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folglich cm : om = ec '■ ^ Cm . ,
Ferner ist, da pq _L cn und oc-L cn ist, pq \\ ec, a^o Z cpq + Z eep~ 21t, aber auch, da eh || cd ist, Z ceg + Z eep > Z= Z ceq. Daher
f\ cpq 1=0 Acp : qp = ce : S rÄ >
cp —- »»
cm,-, qp = w : ,je ' J.
o»jp — :
also verhält siehoder, daist,
A.ub 1) und 2) folgt nun1?- ’ ■
ist aber auchalso
d aher nach 3)u nd nach f)folglich
A non co A
om : qp — mn : pn, 4)
bc i ge = m» : p»he •. ge = pt : X,
X.bc = fi ■ ge. 5)
Nun ist die Länge des Fadens = X . «c + p • de = X . «S + X . Jo
~t~ ft . rfc — X . /e + - </e + p ■ gh — ^ • /« + /< • eh. Zieht man
unn ea, ed, so ist ea i> fe, ed > eh, also
X . «o -j- fi. ed > X .fe -f- fi . eh.
Also kann e kein Curvenpunkt sein, denn es müsste sonst seinX • a,e -|- f C . ed = X . fe -{- ft . eh.
Zweitens wird nun gezeigt, dass auch der Punkt e auf der Seitevon d kein Curvenpunkt sein kann. Man ziehe zu dem Zweckecb J_ ca, eh || cd, cg bell, Aleh, ef || ca, ai 1 ef. Nun ist Zpcq+ Z pee — 11t und Z S cc + Zpce = lß, also Z pcq = Z gce,daherfolglich
Ferner ist Z cm» =also
oder, daist,
also nach 1') und 2')oder, nach 4),oder, nach f)folglich
Nun ist die Länge des Fadens X . ac -f- ft . de = X . ab — X . bc+ ft . dc = l . ab — fi . ge + fi . de-h.. ab — ft. ge + ft. gh = X.fe~t~ ft • eh.. Zieht man nun ea, ed, so ist ea i> fe, ed > eh, alsoX . ae -j- fi • ed > X . fe + ft . eh,also grösser als die Länge des Fadens. Es kann demnach auch ekein Curvenpunkt sein. Ein Gleiches lässt sieh von jedem Punkteder auf cn senkrecht stehenden Geraden, sowohl auf der Seite von enach e, als nach e hin beweisen. Es kann endlich auch kein Punkt,der auf der von n abgekehrtcu Seite von ac liegt, ein Curvenpunktsein. Denn sei, wenn es möglich ist, i ein solcher, so ziehe manat i welche ec, in e ; di, welche ec in E schneidet. Ist nun
X > ft
A cpq
CO
A
ceg,
cp : qp
=
cc
: ge.
o
Z ecb, da mo II
ee ist, daher
A emo
oo
A
ecb,
cm : om
=
ec :
: bc
cm
=:
cp
cp : om
—
ec
: bc,
2')
qp : om
ge
: bc
ge : bc
pn
: mn,
ge : bc
l :
fh
3-)
X . bc
fi .
ge.