§. 8. Seine Tangenten - Methode.

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mittelst des Parallelogramms der Kräfte sucht, erhält man die Kraftwelche wirklich auf ihn ausgeübt wird, nach Grösse, und, woraufes hier zumeist ankommt, nach der Kichtung. Der Stift hat also imfunkte P das Bestreben, in der Bichtung PT der Diagonale des1 arallelogramms PSTB weiter zu gehen und PT ist demnach dieTangente au die Curve. Will man aber, wie Tschirnhaus thut, ob-schon es nicht so in der Natur der Sache begründet ist, die Eich-ung der Normale suchen, so schneide man auf C, P, C 2 P zwei StückePX, PY der Art ab, dass sich verhäst PX : PY = l : /.i, und con-struire aus ihnen das Parallelogramm PXNY, so ist die Bichtungder Diagonale PN die Bichtung der Normale. Denn setzen wirZBPT= z , Z SPT = v, ZXPN = u, Z YPN = y, ZXPY —x,s o ist

Z BPS = Z C 2 PE— Z C 2 PS = 90°-Z(C, PS—x)=90°—(90°—x),also ZEPS = Zx

und Z x — Z BPS.

Börner ist Z y + Z Ca PT = 90° und auch Z z + ZC 2 PT = 90°also Z y = Z und daher Z u = Z v.

Berner ist Z NPT = Z XPS + Z v — Z u

oder, da ZNPT = Z XPS,

also ^ ZKPT = 90°,

mithin NP die Normale im Punkt P. Wie man sogleich sieht, ist dasParallelogramm PXNY dem Parallelogramme PSTB ähnlich. Es istübrigens leicht zu sehen, dass diese Construction der Normale mitder von Patio de Duiiliers angegebenen vollständig üboroinstimmt.Schneidet man nämlich (mittelst eines Kreisbogens) auf den StreckenPX, PY die gleichen Stücke PK, PH bezüglich ab und zieht KH,so ist leicht zu zeigen, dass sich verhält KL : HL = fi : X. Dennes sei (Fig. 46) ABCD ein beliebiges Parallelogramm und von einerEcke A auf AD ein Stück AE — AB abgetragen, sodann EB undAC gezogen, welche letztere die EB in E schneidet. Der WinkelBAD heisse kurz: Z X. Im gleichschenkligen Dreieck BAE ist

nun der Basiswinkel „ - .

180 —A

Z. EBA —-g--»

also, da / CBA = 180° — A ist,

ZEBA = i-ZCBA,

folglich Z EBA = ZCBE.

Verlängert man BE bis sie die CD oder deroii Verlangenschneidet, so ist als Wechselwinkel

ZEBA = ZCGB,also auch ZCBE=Z C BG = ZCGB.

Bs ist also auch das Z BCG gleichschenklig, also

CG = CB

oder CG = AD

Nun ist A EEA co Z BFC,

also EF : AF = BF : CF

in G

1 )

2 )

3 )