§. 8. Seine Tangenten-Methode.

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Massen, deren Gewichte sich wie die Anzahl der Fäden x : X : /.cverhalten, ist zwar, wie man bemerkt, für Curven, welche nur zweiBrennpunkte besitzen, richtig, denn unter der genannten Annahmeist der Punkt n in Fig. 44 oder N in Fig. 45 der Schwerpunktder bezüglich in m, p\ K, H befindlichen, oder vielmehr gedachten,Gewichte; die Behauptung Fatio’s ist aber nicht richtig für Curven,welche mehr als zwei Brennpunkte haben. Denn sein Beweis, fallsman die Behauptung in der letzteren Form fasst, lässt sich nicht,Wenn er für zwei Brennpunkte richtig ist, auch auf den Fall aus-dehnen, wo deren drei vorhanden sind. Es würde dies nur dannWöglich sein, wenn gezeigt wäre, dass man (Fig. 44) statt der zweiBeitstrahlen ca, cd, deren einer X, deren anderer /.t Fäden enthält,einen einzigen in der Itichtung cn befindlichen Leitstrahl (also auchstatt der zwei Brennpunkte a und d einen einzigen auf cn) annehmenkönnte, auf welchem sich (1 + fi) Fäden befanden. Das ist aberWeder bewiesen, noch lässt es sich beweisen, denn die Fassung vonFatio’s Satz, welche den Schwerpunkt hereinzieht, beruht auf einer,allerdings bei zwei Brennpunkten zu etwas Richtigem führenden,Fiction, dass bei dem vorliegenden Problem parallel wirkendeKräfte in Betracht kämen, deren Resultante bekanntlich immer gleichder Summe der einzelnen Kräfte ist. In Wahrheit aber kommen,Wie Fig. 45 zeigt, nicht parallel, sondern in verschiedenen Rich-tungen wirkende Kräfte in Betracht, deren Resultante bekannt-lich immer kleiner ist, als die Summe der Kräfte, wie denn in Fig. 45FT oder PN kleiner ist als PS + PR oder PX -f- PY. Sind solcherKräfte nur zwei da, und denkt man sich in K und H Gewichte,die sich wie die Längen PX, PY oder wie X und ft verhalten, sogeht allerdings die Resultante PN durch den Schwerpunkt L der-selben ; allein im Punkt L kann man sich, wenn man die Resultanteetwa mit einer dritten Kraft componiren will, nicht ein Gewicht(X -f- /.t) vorstellen. Während also Fatio’s Behauptung, auf mehr alszwei Brennpunkte enthaltende Curven ausgedehnt, unrichtig ist, ganzabgesehen davon, dass der Natur der Sache nach der Schwerpunktnichts mit der Richtung der Tangente zu thun haben kann, siehtman sogleich ein, wie sich das an Fig. 45 gezeigte Verfahren, dieTangente PT oder die Normale PN zu finden, bei beliebig vielenBrennpunkten fortsetzen lässt, denn die dort angewandten Schlüssebleiben auch dann noch richtig und die Construction kommt aufdie Composition von Kräften mittelst des Parallelogramms der Kräftehinaus, mag die Construction nun an den auf den Leitstrahlen C, P,C 2 P u. s. w. Senkrechten vollzogen werden, wodurch man unmittel-bar die Tangente, oder an den Leitstrahlen C 1 P oder XP, C 2 P oderYP u. s. w. selbst, wodurch man die Normale der Curve enthält.Uebrigens kann man auch von dieser hier aufgestellten Methode,die Tangenten zu ziehen, dasselbe aussprechen, was Fatio von derseinigen aussprach. Er sagt nämlich mit Rücksicht darauf, dassseiner Meinung nach die Normale immer durch den Schwerpunkt