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§. 8. Seine Tangenten - Methode.

Mcdicina Mentis geirrt habe, er könne aber den Behauptungen Fatio’snicht überall beitreten. Denn 1) aus den Worten: Supposons quea & d” (s. pag. 134) bis zu „ne passe pas non plus par le point?”( s -pag. 136) gehe hervor, Fatio habe geglaubt, die von ihm bewie-sene Regel erstrecke sich auf unendlich viele Curvon, und umfassenicht nur die von ihm (Tschirnhaus) bezeichneten. Die Stelle, dieTschirnhaus im Sinne hat, ist jedenfalls die (s. pag. 134) folgende:»mais autrement ce que je vai demontrer s’etend a des lignes courbes,qni se peuvent decriro par un fil, dont une oxtremite est attacheeau stile, & l’autre a un des foiers; & meme il s’etend a des lignescourbes, qui ne se peuvent point de'crire par des fils, selon la ma-xiere de M r - de T., ä moins d’en emploier une infinite de retours”.In der That hat Tschirnhaus den Fall. dass der Faden am Stiftebefestigt sei, wenigstens in der zweiten Ausgabe der Medicina Mentis,nicht berücksichtigt, und man bemerkt leicht, dass auch bei den dannentstehenden Curven das oben angeführte Raisonnement ganz un-verändert bleibt; dagegen hat Tschirnhaus vollkommen Recht, wenner behauptet, die Zahl der Fäden bedinge nicht, wie Fatio glaubt,verschiedene Curven. Denn, sagt Tschirnhaus, es seien (Fig. 48)A und C die Brennpunkte, es sei ferner „AC ooa, BC oo x, BD oc y,le nombre des fils AD oo b; & celui des fils DC oo c, posez, enfin laligne donnee, ä qui la somme de tous les fils est egale, etant nom-uiee d, on aura celle equation bKaa—2ax-fxx-j-yy-|- cKxx+yy”.Denn es ist b . AD -j- c . CD = d. Nun ist AD \ (a—x) 2 -) - y 2 ,CD = Y-x? + y 2 , also b K(a — x)2 -f. _(_ cKx 2 + y 2 = d oder

h]/^a 2 — 2ax + x 2 -f- y 2 -f- e V~ x 2 + y 2 = d. Die Curve ist alsoimmer, wie Tschirnhaus bemerkt, welche Werthe man auch für bund c nimmt, von demselben Grade; unter speeiellen Annahmen kannsie auch durch eine einfachere Gleichung ausgedrückt werden, wiedie Ellipse, wenn beide Halbaxen gleich gesetzt werden, zum Kreiswird, niemals aber kann sie eineu höheren Grad, als den vierten,erhalten. Dass man in der That nur eine beschränkte Anzahl vonCurven erhält, beweist Tschirnhaus an einem Beispiel. Es sei (Fig. 49)ein Faden ACE von bestimmter Länge mit einem Endpunkte in Abefestigt, und das andere Ende CE stehe immer senkrecht auf dergegebenen Geraden FD, so, sagt Tschirnhaus, erhält man, wenn sowohlin AC, als CE die Fäden einfach sind, eine Parabel, wenn auf derStrecke AC der Faden mehrfach, auf CE einfach ist, eine Ellipse,Wenn der Faden auf AC einfach, auf CE mehrfach ist, eine Hyperbel.Dies ist richtig. Denn ist F der Coordinaten-Anfangspunkt, FE dieAbscisse x, EC die Ordinate y und die Fadenlänge = s, so hat manuis Gleichung der Curve, die entsteht, immer

V FE 2 -F(CE — AF) 2 + CE = s,also, wenn AF = a ist, im ersten Falle:

Kx 2 -j- (y — a) 2 + y = s >

woraus folgt 2 (s —a).y = s 2 — a 2 — x 2 ;