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§. 8. Seine Tangenten - Methode.
/ pbedf-j- qaedg= rabdh -f- sabei1 pf + qg — rh -j- si
• orit < paf + qbg = rch + sdi
I pa 2 f + qb 2 g = rc 2 h + sd 2 i
( pa 3 f + <l b3 S = ro 3 h + sd 3 i.
Ex quibus attente consideratis perfacile progressus horum in infinituxnpatet”. Einen Beweis dieses Satzes giebt also Tschirnhaus nicht, auchlässt er nicht errathen, wie er ihn gefunden. Man überzeugt sich aberleicht, dass derselbe nicht richtig ist. Denn nehmen wir eine Curvemit zwei Brennpunkten und setzen voraus, dass auf jedem Leitstrahlnur ein einziger Eaden sich befinde, dass also p = q = 1 sei, so istdie Curve eine Ellipse (Eig. 56). Da die Gerade DE beliebig seinsoll, nehmen wir sie Beispielsweise so an, dass sie die grosse Axeder Ellipse unter einem Winkel von 45° schneide. Nach Tschirn-hausens Satz pbf = pag, oder, da p = q ist, bf = ag müsste nunsein: EB. DM — DB . EM. Heisst die grosse Halbaxe der Ellipse a,
die kleine b, die lineare Excentricität V a 2 — b 2 : e, die Abscisse desEllipsenpunkts P : x, so findet man leicht, da
H p = a2 + c - JP = :i2 - cx
a a
ist, indem II und J die Brennpunkte sind, wenn PM die Normaleder Ellipse ist
a 2 + ex j/"b 2 (a 2 — x 2 ) -(- a 2 (e + x) 2
DB —--j---—:- . e;
a b]/^ a 2 —x 2 —a(e + x)
DM - T . - b -+ -■-= ÜLr- . 1 leVtyltt
aV^a 2 —x 2 —bx a J
LbV a 2 —x 2 —a(e + x)
EB =
_ a 2 — ex K"b*(a 2 —x 2 )-f-a 2 (e—x) 2
a bl^a 2 — x 2 +a(e — x)
EM = — —— - ,
LbV^a 2 —x 2 -f-a(e—x) aV a 2 —xund nach gehöriger Ausrechnung ergiebt sich:
EB . DM = _
!(a 2 -ex)[bf A a 2 —x 2 +a(e—x)j— aeV^ b ß (aa 2 [aV~ä
—- 1 !
—bx a J
eVlVa 2 * 2 ;
2 -x 2 ) + a 2 (e-x) 2 j(a 2 +ex)x 2 — bx][bK~a 2 — x 2 -f- a(e — x)][bi^a 2 — x 2 —a(e+x)]
•P>Ka 2 —x 2 — ax] . eV2 . Va 2 -
DB . EM =
l(a 8 _+ ex)[bFa 2 -x 2 -|-a( e +x)j + ae K b 2 (a 2 -x 2 )+a 2 (e + x) 2 j(a 2 -e*)a 2 [al^a 2 — x 2 - - bx ] [b]/a 2 x 2 ^ a(e -f- x)][bV^a 2 x 2 -f- a(e —x)j
. [bl/"a a —x 2 — ax] . e]/"2 . ]/"a 2 —x 2 .
Man bemerkt sogleich, dass hier die Zähler der Brüche nicht voll"ständig gleich sind, dass also nicht, wie Tschirnhaus behauptet,EB . DM = DB . EM ist. Dagegen ist der Satz richtig, wenn mau