§. 8. Seine Tangenten-Methode.

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unter übrigens gleichen Voraussetzungen, als Linie DE (Tschirn-hausens Figur 53), die grosse Axe der Ellipse selbst annimmt, wo-von man sich leicht überzeugt. Untersuchen wir nun weiter Tschirn-hausens Lehrsatz für die Curve, in welcher die Summe der Quadrateder Leitstrahlen eine coustante Grösse ist. Hier soll seiner Behaup-tung nach pf =■<]£ sein. Nehmen wir wieder an, cs befände sichauf jedem Leitstrahl ein einziger Faden, es sei also p = q = 1, sos°ll also sein f = g, also DH = EH (Fig. 57), oder es soll jedebeliebige Strecke DE durch die Normale in H lialbirt werden. Umdie Curve zu finden, nehmen wir die Hitte O der beiden Brenn-punkte H, J als Coordinaten-Aufangspunkt, die Abscisse ON heissex > die Ordinate NB: y, die Strecke OH — OJ heisse e, die constanteSumme der Quadrate von HB und JB heisse 2k 2 , so haben wirals Gleichung der Curve:

(x -f- e) 2 + y 2 + ( x — e ) 2 + y 2 = 2k 2oder 2x 2 + 2y 2 + 2e 2 = 2k 2

3-lso X 2 -j- y 2 m k 2 — C 2 .

Die Curve ist also ein Kreis mit dem Hittelpunkt 0 und dem Halb-messer V k 2 — e 2 . Ist umgekehrt ein Kreis mit dem lladius r gegeben,s o ist (Fig 57), wenn OH = OJ = e ist,

HB 2 4- JB 2 = (x + e) 2 + r 2 —x 2 -f- (x—e) 2 -f- r 2 — x 2= 2x 2 + 2e 2 + 2r 2 — 2x 2= 2(e 2 + r 2 ),

also constant. [Nimmt man beiläufig e = r, setzt also die Brenn-punkte H, J nach X, Y, so ist dio constante Summe = 4r 2 = XY 2 .Han erhält also dann den bekannten Satz, dass jeder Winkel imHalbkreis ein Beeilter sein muss.] Im Kreise geht nun bekanntlichjede Normale durch den Hittelpunkt. Es müsste also nach Tsehirn-hausens Satz jede beliebige Gerade DE durch BO in H halbirt wer-den. Dies ist aber offenbar nur dann möglich, wenn man für DEdie Verbindungsgerade HJ der Brennpunkte selbst, oder eine ihrparallele Gerade nimmt; jede andere Gerade DE wird in einem an-deren Verhältniss getheilt. Dies mag hinroichen, um die Behaup-tung zu rechtfertigen, dass Tsehirnhausens Theorem im AllgemeinenUnrichtig ist und nur in sehr speziellen Fällen Bichtiges liefert.H ahrscheinlich war es, wie Fatio auch von der in der ersten Aus-gabe der Medicina Mentis aufgestcllten Tangenten-Methode vermuthet(s. pag. 134) durch Induction gefunden. Auch kommt Tschirnhausuirgends wieder auf dasselbe zurück, und auch kein Anderer hat es,Unseres Wissens, beachtet.

Aus den Worten, welche Tschirnhaus seinem Theorem hinzufügt 1 ):»Atque sie ope liorum theorematum, quae tarn brevi tempore inve-uiuntur, ut vel quadrans horae sufficiat ad haec omnia in lucemdeducenda, millium millionum curvarum tangentes facillime inveniun-tur scheint mir hervorzugehen, dass Tschirnhaus sich eines ahn-

’) Medicina Mentis. 2" Auflage, pag. 101.