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§. 9. Seine Brennlinien.

handlung einen Beweis des unter 3) erwähnten Theorems, um dieszuerst zu betrachten,'gegeben, muss dahin gestellt bleiben. EinenBeweis dieses Satzes fand Leibniz sogleich, nachdem Tschirohausihm denselben mitgetheilt hatte. Wir finden diesen Beweis Leib-nizens in einem Briefe ') an Tsehirnhaus, der wahrscheinlich dieAntwort auf dessen letzterwähntes Schreiben ist. Leibniz sclxliesstfolgendermaassen: Es sei (Eig. 61] PC| C 2 C 3 G * 2 ) die reflectirende Curve,C| A,, C 2 A 2 , C 3 A 3 u. s. w. reflectirte Strahlen, L,C,, L 2 C 2 , LjGtu. s. w. seien die cinfallenden Strahlen. Man nehme die Zwischen-räume zwischen C 1( C 3 , C 3 unendlich klein und ziehe C, H, J_A 2 C 2 ,oder, da A, und A 2 auch unendlich nahe an einander liegen unddaher Ai, A 2 , C 2 als in gerader Linie befindlich angenommen wer-den können, CiH, J.A,C 2 , ebenso errichte man C 2 H 2 J A 3 C 3 oderA 2 C 3 . Man verlängere nun C|C 2 über C 2 hinaus nach M’ 3 ), so kanndie unendlich kleine Gerade CiC 2 als Tangente angesehen werden,und es ist nach optischen Gesetzen der Einfallswinkel L 2 C 2 M 4 )gleich dem Befiexionswinkel C, C 2 A,, also

Z L 2 C 2 M = C,C 2 A,,aber es ist auch als Gegenwinkel

Z L 2 C 2 M = L, C, C 2 ,folglich Z^iGiAi = L| C, C 2 ,

mithin das von C,, C 2 und dem Durchschnittspunkte T der GeradenA[C 2 und C(L 2 gebildete Dreieck TC,C 2 gleichschenklig, mithin

C,H, = C 2 G,

und C,G, = C 2 H,, f) .

wenn C 2 G| J_ L, C, ist. Nun kann Ci Hi als die Sehne eines mitdem Radius A, C, von A, aus beschriebenen Kreises angesehen wer-den, der die A, C 2 in Hi schneidet (denn II, C 2 ist unendlich klein)(„demonstrari enim posset, si esset opus, differentiam inter C,Hisinum et dictam chordam arcus, cujus est hic sinus, esse infinitiesinfinite parvam seu ipsarum infinite parvarum ut, C, H comparationoinfinite parvam seu nullam”). Es ist also H t C 2 die Differenz zwi-schen A,C, und A,C 2 oder

A,C 2 — A,C, = H,C 2 ,also nach f), A, C 2 — A, C, = C, G,.

Nun nehme man auf CL nach L zu solche Stücke C, V, , C 2 Y 2 u. s. W.,dass immer A,C, + C, V, =QA,, A 2 C 2 + C,V 2 =QA 2 u. s. W. ist,so lässt sich zeigen, dass Y 2 , Y 2 u. s. w. mit L,, L 2 u. s. W. Zu-sammenfällen müssen. Denn es ist

A,C, +C,V, — A 2 C 2 —C 2 V 2 =QA, — QA 2 = A,A 2 . tt)

') Gerhardt: Leibnizens mathematische Schriften. Band IV. pag. 491.

2 ) Statt der von Leibniz gebrauchten Buchstaben ,C, 2 C u. s. w. schreibeich lieber C,, C 2 u. s. w.

3 ) In der hieher gehörigen Figur bei Gerhardt steht M da, wo ich M' gesetzthabe, und C,C 2 ist nicht verlängert. Jedenfalls muss die Figur so sein, wie sicFig. 61 gezeichnet ist.

4 ) Statt „ 2 L 2 Cll” steht bei Gerhardt „ 2 C 2 LM”.