§. 9. Seine Brennlinien.

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Eim ist aber A 2 C 2 —A| Hj -f- H] C 2 — A,A 2 .

Es ist aber A|H, = A I C|, weil wir C|Hi als Sehne eines von A,aus mit dem Radius A,Cj beschriebenen Kreises ansehen konnten,der die A 2 C 2 in II, trifft; ferner war nach f), H,C 2 = C,G, , alsoA 2 C 2 = Ai Ci + C] Gi ■ • A] A 2 ,

also uach ff)

A i C, -f C, V, — A, C, — C, G, -f A, A 2 —C 2 V 2 = A, A 2oder C.V,—C,G, — C 2 V a = 0

oder C, Y, —C 2 V 2 =C, G,,

ebenso ist nun auch C 2 V 2 — C 3 Y 3 =C 2 G 2 u. s. w.

Es sind also die Differenzen zwischen zwei auf einander folgendenStrecken Ci Vi und C 2 V 2 , C 2 V 2 und C 3 V 3 , u. s. w., gleich den StreckenEi G,, C 2 Gj u. s. w. Es sind aber dieselben auch die Differenzen^wischen CiL, und C 2 L>, C 2 L 2 und C 3 L 3 , u. s. w., denn es ist

C,L, —C 2 L 2 = C,G,

C 2 L 2 - C 3 L 3 = C 2 G 2 u. s. w.

»Quod fferi non posset (quaemadmodum ') demonstratu facile est)uisi CV et CL respondentes perpetuo coincidant. Ergo AC + CL(loco AG + CV) aequ. curvae Ad, quod erat demonstrandum. Haecdemonstratio Tibi quidem faeilis erit, sed non cuivis in his Methodisnon versato”. Man hat nämlich, um den Beweis ganz vollständigz u haben, in die Gleichung ff) für C 1 V 1 , C 2 V 2 einzusetzen: CiL],E 2 L 2 ; dann lautet sie

(A] Ci +■ C|Di) (A 2 C 2 -f- C 2 L 2 ) = A] A 2oder allgemein, da die linke Seite des Differenzial von (Ai C] + Ci Li),Wofür wir kurz (AC + CL) schreiben wollen, ist

d(AC + CL) = d . QA,

denn Ai A 2 ist das Differenzial von QAi. Hieraus folgt

/d(AC + CL) = /d .QA,

also AC + CL = QA + constans:

Im Falle, wenn, wie Leibniz voraussetzt, die reflectirendc Curvo unddie Caustica den Punkt Q gemein haben, muss, da für diesen AC + CLund auch QA = o ist, auch die Constante = o sein, und man hatdann AC -f- CL QA.

Vennuthlicli, um Tschirnhauscns oben (s. pag. 148) erwähnte Frage,°b Huygeus derartige Probleme gelöst habe, zu beantworten, setztEeibniz hinzu: „Herr Hugenius 2 ) kan diese problemata auch solviren,wie er mir geschrieben, aber, wie ich glaube, auf einem ganz anderen

') Jedenfalls „quemadmodum”.

2 ) Cliasles in der „Geschichte der Geometrie, übersetzt von Sohncke”, pag.103 und 104, bemerkt, dass Huygens schon vor Tscliirnhaus eine zu den Brenn-linien gehörige Curve untersucht habe, nämlich diejenige Curve, welche aui dengebrochenen Strahlen senkrecht stellt. Uebrigens sagt Chasles: „Ebenso nun wiefschirnhausen sjiäter die Curve betrachtete, welche die gebrochenen ötramen em-Willt, ebenso betrachtete Huygens die Curve, welche auf diesen Stra en sen recsteht”. Meiner Meinung nach hat Tscliirnhaus nirgends dio Curve, welche dieSebrochenen Strahlen einhiillt, betrachtet, sondern die Curve, welche von denZ Urüclcgeioorfenen Strahlen eingehüllt wird.