152

§. 9. Seine Brennlinien.

Wege. Die curvas ad quas omnes radii sunt perpendiculares, velquas omnes radii tangunt, nennete ich communi nomine Aclasticas;weil ich aber nicht ad partieularia kommen und sonderlich nurdioptrica als difficiliora damahls untersucht gehabt und mich conten-tirt generalem methodum zu haben, so bin ich auf dergleichen schöhnetheoremata, wie M. Hr. nicht kommen, welches gemeiniglich meineungedult verursacht, denn indem ich Methodum generalem meinegefunden zu haben, lasse ich es liegen”.

Wenden wir uns nun zu der oben (s. pag. 149 2)) ausgesprochenenBehauptung, die Catacaustica eines Kreises (Fig. 59) werde gefunden,indem man über dem Badius desselben einen Halbkreis beschreibeund die Strecken GD in H halbire, so bemerkt man sogleich, wieKlügel in seinem mathematischen Wörterbuch, Artikel: „Brennlinie”,angiebt, dass Tschirnhausens Construction unrichtig ist. Die Cata-caustica des Kreises für parallel einfallende Strahlen ist vielmehr,wie bekannt ist (s. Weissenborn: „Die cyclischen Curven. Eisenach,bei'Bärecke. 1856”, pag. 302), eine gemeine Epicycloide, derenruhender Kreis, wenn der Badius AE oder AC : R ist, den Halb-

H- H

messer —, deren wälzender den Halbmesser — hat. Ist A der Coordi-

2 4

naten-Anfangspunkt, AE die x-, AC die y-Axe und heisst der Wäl-zungswinkel ca, so sind die Gleichungen der Epicycloide, welche dieCatacaustica bildet,

m

I2'

K\

■=c'=(?+?)■

R

4

E .

sin

tV • w

-. sm

R

4

2

R

4

R

cos

R ‘ (0

— ; . cos

4

12

R R2 + 4

R ‘

2

R R2 + 4

R ’

. 2

oder

x = -|R . sin (|ca) — IR . sin (fco)y = |B . cos (£w) — £R . cos (-§ra)oder, wenn man |ca = cp setzt,

R, .

x = -(3 sin <p — an 3 q>)

E.

y = j(3 cos c/i — cos 3 (p).

Soll nun rp eliminirt werden,sin 3 (p = 3 sin cp

x — (3 sm cp 3 sin cp -)- 4 sin 3 cp

oder x = B . sin 3 cp,

so hat man nach der bekannten Begel4 sin a cp

folglich sin cp =

B’

cos cp

-n