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§. 9. Seine Brennlinien.

3) A) LJ — LF + JF

3) B) U = LF — JF =

, fdy-Y

(Fig - 67 >-

J dx 2

'dy ^ 2

4) LJ

JF — LF =

+(£)’

o d 2 y

^dx 2

■+@ -

od 2 y2 dx 2

(Fig. 68).

(Fig. 69).

Sehen wir nun zu, wie Tschirnhaus die Aufgabe löst. Er legt(Fig. 62) offenbar den Fall 2) A) zu Grunde. Die Länge von LJbezeichnet er durch p. Ferner bezeichnet er BC durch o, NM durche, BD durch b, CE durch d, und behauptet: mit Vernachlässigungder höheren Potenzen von o und e ergebe sich folgender Werth fürLJ oder p:

_ (oy 2 + 2dey — d 2 o) (y 2 + b 2 ) .

P ~ (dy — by — be)(— 2y 2 — 2ey — 2bd)' _ W

Von der Richtigkeit dieser Behauptung überzeugt man sich leichtauf folgende Weise: Es ist

BD b . BD b BL y

tang . t = T , T = ; sinr = T - ; cos. r — —-===

BL y LD LD ^^y 2 +b 2

tang. t

CE

CM

CM

ME

y+ey + e

K(y + e) 2 +d 2 '

2 y!

CE

ME

K(y+e) 2 +d 2

; COS 1

Ferner ist BF = y . tang 2r =

A 2 y 2

2by 2

b 2

2 (y + e )f+^ 2d(y+e) 2

CG = (y + e)tang 2r = --/ 2 + =

(y + e) 2

also FG = CG — BF + BC =

2d( y + e) 2 (y 2 — b 2 ) — 2by 2 [(y + e) 2 — d 2 ] + o(y 2 — b 2 )[(y+e) 2 —

[y 2 — b 2 ] [(y + e) 2 — d 2 ]

2_Iv*

Ferner ist sin JFG = sin (9 0 0 — 2 i) = cos. 2t= cos 2 r —sin 2 r = - 5 -rrs'

y 2 + D2by

^+b 2

also cos JFG:

Vj l + 2y 2 b 2 + b« - y* + 2y 2 b 2 — b*

y 2 + b 2 ■

ferner sin JGF = sin(90° + 2r) = cos . 2+ =

(y+e) 2 +d 2