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§. 9. Seine Bronnlinien.

2rx V 2rx + i 2 V" 2rx

P =-^5-

Wenden wir nun die Regel pag. 161dy /"r 1 d 2 y _1

~ 2 ' Yf dx 2 ~ 2

X + £

nach, da =dx

n

Man

auch

r

erhält also denselbendie Construction, die

2x1^x + rV x2r

2) A) an, so ist derselben

5 ' Wi irt ’

2x1^ x -f- tV x

Vir

x]/^x

Werth, wie Tschimhaus. Ebenso istderselbe angiebt, die Länge von p füreinen Punkt, z. B. L der Parabel, wenn man sich unter ALM(Fig. 62) eine solche denkt, richtig. Er giebt nämlich folgendesYerfahren an: Man verlängere die Axe HA über den Scheitel hinausum ein Stück AU = AB — x und errichte in U eine Senkrechte aufUH, sodann verlängere man die Normale DL über L hinaus rück-wärts bis sie diese Senkrechte in P schneidet, so ist die HälfteUN = PN der Strecke UP die Länge des retiectirten Strahles vomPunkt L bis zur Caustica, also gleich p. Nennen wir nämlich OP : z rso ist, da DB = r, BU = 2x ist, dieser Construction nachr : y = r + 2x : z,

_ 2 xy + ry

also

z =

und QN = PN = —2

z _ 2xy + ry

2r

oder, vermöge des Werthes von y,

z 2xV" 2rx + tV 2rx

2x1^ x + tV x

2 2r y 2 r

also gleich p. Uebrigens ist leicht zu sehen, dass die Caustica derParabel Anfangs oberhalb der Axe AH liegt. Es ergiebt sich näm-lich aus dem oben (s. pag. 157 f)) aufgestellten Werthe für t], dassdie Caustica die Axe schneidet, wenn die Abscisse des reflectirendcnPunktes x = |r ist. Tschimhausens Eigur in den Act. Erudit.zeigt, dass auch ihm dies nicht entgangen. Dass aber seine Be-stimmung des Werthes p, obschon derselbe eigentlich unter der Vor-aussetzung entwickelt war, dass J unterhalb AH liege, auch dannnoch richtig ist, geht daraus hervor, dass die Formel für LJ oder psowohl im Falle 2) A) ( 8 . pag . 161), als im Falle 2) B) (s. pag. 161)dieselbe ist ')•

’) In Grunerfs „Supplemente zu Georg Simon Klügel’s Wörterbuch der reinenMathematik. Erste Abtkeilung. Leipzig, 1833” steht im Artikel: „CaustischeFlächen und Linien”, pag. 408: „“Von der Brennlinie der Parabel hat Fum ge-handelt (Nov. Act. Petrop. T. VIII). Txchimhamens Auflösung ward als falscherkannt von Cassini, Mariolie und de la Hire, als Commissarien der französi-