§. 9. Seine Brennlinien.
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Nachdem mm Tsehirnhaus den früher begangenen Irrthum rück-sichtlich der Caustica des Kreises beseitigt hat, sucht er ebenfalls fürdiesen, als reäectirende Curve, die Länge p. Als Gleichung des Kreisessetzt er voraus y 2 = 2rx—x 2 und findet, vermöge seines oben be-schriebenen Verfahrens, o:e = y:r—x. Da nun auch o:e=y:b ist,folgt b = r — x, und also d = r — (x + o). Mittelst des oben ander Parabel gezeigten Verfahre ns findet nun Tsehirnhaus p — ^y.In der That ist, wenn y = V~ 2rx x 2 ist,
dy r — x d 2 y __ f2 _
dx y 2rx— x 2 ' dx 2 (2rx—x^V^rx —x 2
oder r ~ x -
dx y dx 2 y 3
, l+(dy) 2 1 ~~C "} r 3 _y y 2 +(r— x) 2
also nach pag. 159 2) p =- ¥y~~ „r 2 2 1-2
■“dx 2 y 3
y 2rx — x 2 + r 2 — 2 r x + x 22 ’ r 2
oder r> — ^.
e 2
■Mit Hülfe dieses Theorems, sowie des früher aufgestellten („quoduimirum radius incidens CE, unica cum radio reflexo®it aequalis curvae ED”) (Eig. 70), findet nun Tsehirnhaussogleich den Satz, dass, da Bogen ED = FE-J-CE ist, bei der Causticades Kreises, Bogen ED = 4 CE + CE = l^CE ist.
Es sei gestattet, hier nochmals auf das soeben erwähnte Theorem:„quod nimirum radius incidens CE, unica cum radio rehexo sitaequalis curvae FD” zurückzukommen. Es wurde oben (s. pag. loO)ein Beweis von Leibniz mitgetheilt. Mit Hülfe der bisherigenHinter-gehung lässt sich dasselbe auch auf andere Weise darthun. Nennenwir den Bogen der Caustica, AJ (Eig. 62) oder ID (Eig. 70) fe, sosoll also nach Tschirnhausens Behauptung sein
S = y + p.
folglich dS = dy + dp. ^
Heissen die Coordinaten der Caustica £, r i> so istdS = Kdl^+di? 2 -
•dum Akademie”. Vermuthlich ist Tschirnhausens oben (s.
“■wähnte Ansickt über die Caustica des Kreises gemeint, Sein
bereits bemerkt ward, in diesem Aufsätze der Act. Erudi . allen stücken
erfahren riicksicbtlicb der Parabel ißt, wie soeben gezeigt w > über die p a -richtig. Auch finde ich nirgends, dass T^hirnkaus^seinen Lebrsa^.,^ra bel der Pariser Akademie mitgetheilt hatte. Weder Ger . Erudit. Jdensis
™atischc Schriften. Band IV., pag. 488, 489), aoe „^licbeu VerzeichnisseForembris 1682, pag. 364, erwähnen m dem dasei s „Deckungen des Satzosder von Tsehirnhaus der Pariser Akademie vorgelegtenv °h der Parabel.