§. 9. Seine Brennlinien.

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_ *g(s y-4<m+(‘+(tn . ,g

folglich

>(gy

. dx

d (y + p) :

+(£)

, d2 y

d 3 y

'dx 3

dx.

Mithin

also

"“dx 2

dS = d(y + p),

S = y -j- p + Constans.

Zugleich bemerkt man sofort, dass in den pag. 158 bis 161 auf-gestellten Fällen2) und 4) S = y + p + Const.

}) und 3) S=y —p + Const.

ist. Die Caustica ist also stets eine rectificabele Curve >)•

Wir suchen nun Tschirnhausens, die Caustica des Kreises betref-fenden, Satz noch auf andere Weise zu rectificiren. Die Causticalst in diesem Falle, wie bereits pag. 152 bemerkt wurde, eine Epi-c 3 r cloide. Ist der Radius des gegebenen Kreises/ BK = BD (Fig. 71),

R R

== R, so ist der des ruhenden Kreises —, der des wälzenden j, und,

Wenn o> den Wälzungswinkel bezeichnet, für BD alsBK als Ordinaten-Axe die Gleichung der Epicycloide 2 1 •

4’

Abscissen-,

(

2 ^ 4 /

/R

fli , R

4

R .

2-+ 4

sin

R •

“4 S “

fi '

12

2

(R

/R . R

4

R

2 + 4

cos

R ' w

-COS

4

R ’ w

.2

2

Bezeichnen wir nun die Länge eines Bogenstückes JF, welches zumWälzungswinkel FOQ, = w gehört, durch 1, so ist 3 ):

1

R R2 + 4

oder

R 216

. J<>1 = 3R sm 2 —.

R

2

R /„ R to\

4 \ 4 4/

') Gelänge es also, jede Curve als Caustica anzusehen und die zugehörigerenectirende zu finden, so würde die erstere hiedurch reetificirt sein. Aus einerureige in „Zarnckc’s literarischem Centralblatt. Nr. 44. Den 1. November 1862”er sehe ich soeben, dass ein Mitglied der Wiener Akademie, Strauch, dieses „Um-Sekehrte Problem der Brennlinien” zu lösen gesucht, und zum Theil gelöst hat.

selbst habe die Schrift nicht einsehen können.

2 ) S. Weissenborn: „Die cyclischen Curven. Eisenach, bei Job. Fr. Bärecke,185 6”, pag. 302.

3 ) Ebendaselbst pag. 86.