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§. D. Seine Brennlinien.

halbirt man den Winkel L an der Spitze, so geht die Halbirungs-linie durch den Halbirungspunkt der Grundlinie NH; zieht man nunnoch einen zu NH parallelen Durchmesser, so wird auch dieserdurch sie halbirt; es ist also ,/NLF = ^/HLE und ebenso ^/HKF= ^JKF ; man kann daher NL, HK als zwei benachbarte einfal-lende, HL, JK als die zugehörigen zurückgeworfenen Strahlen ansehen.

XJm nun zu zeigen, dass die Caustica wieder eine Caustica zurEvolute habe, schlägt Tschirnhaus den umgekehrten Weg ein, indemer zeigt, dass eine Caustica oder Epicycloide wieder eine solche zurEvolvente habe. Es sei nämlich (Fig. 73) JNF die Caustica einesKreises LOFDA, in J sei ein Faden befestigt, der um JNF gelegtsei. Derselbe werde nun abgewickelt und beschreibe dabei dieCurve FPH, so wird behauptet, dass dies die Caustica des KreisesMQGRH mit doppelt so grossem Halbmesser, als LOFDA, sei. Essei das Curvenstück FN abgewickelt, FP das dadurch beschriebeneStück der Evolvente, so ist NP Tangente an FN und Bogen FN= der Geraden NP. Nun werde eine Gerade QPR senkrecht aufNP gezogen, so ist sie die Tangente der Evolvente. SG sei dieOrdinate von G, und es werde die Gerade OG gezogen. Es istnun nach dem pag. 150, 151, 171 bewiesenen SatzeBogen NF = NO -f EO,also, d a Bogen NF = NP = NO + OP

ist EO = OP.

In den Dreiecken OPQ und OEC ist

OE = OP

also

Es ist alsoIn den Dreiecken

alsofolglichoder, dawar,

Ferner ist auch

ZOEC=ZOPG=90°

Z COE = (ZCON als Beflexionswinkel=)POG')ÄOPQ^ AOEC.

OG = OC, GP = CE.

OPG und OWG ist aberOQ = OGZPOQ=ZWOQZOPG=ZOWQAOPG- AOWG,

WG = PGPG = CEWG = CE.

SW = CE,

*) Tschirnhaus setzt hiebei freilich voraus, dass OQ und OC in dieselbe Ge-rade fallen. Dies lässt sich leicht beweisen. Es schneide, wenn es möglich ist,die CO in ihrer Verlängerung die Gerade HP in ihrer Verlängerung nicht in demPunkte Q, wo sie den Kreis MQGRH schneidet, sondern in einem anderen PunkteX, so wäre in den dann entstehenden Dreiecken CEO, XPO, ZCEO = /_XS0= 90°, ZC0E = ZX0P (=ANOC) nach der Constructiön, also ACEOes verhält sich also EO : PO = CO : XO. Da nun EO = PO ist, muss auch XO=GO,also CX = 2 . CO sein, also X muss auf der Peripherie des Kreises MQGRH liegenund demnach mit Q zusammenfallen.