§. 9. Seine Bronnlinien.

175

folglich SQ = 2 . CE

und daher QP = jQS-

Es ist also nach dem pag. 172, 173 bewiesenen Satze P einPunkt der Caustica des grösseren Kreises, in einer gegen die gegebeneCaustica des kleineren Kreises um 90° gedrehten Lage, und folglichist die Evolute der Caustica EPM wieder eine Caustica^ JNF. Inder That ist die Evolute einer Epicycloide wieder eine Epicycloide,in der von Tschirnhaus bezeichheten Lage. Heisst CM oder CG: E,so sind die Eadien des ruhenden und wälzenden Kreises der Epi-Tt B

cycloide EPM bezüglich - und - und die der Epicycloide JNF be-

Jt **

E

'4

E *1

_ = — , was mit Tschimhausens Con-

E , 9 E 8

2 + 4

E 2

zÜglich.^--—=? und

-4-2- 4

2 + ^4

struction übereinstimmt.

Derselbe zeigt dann noch, dass es ausser der pag. 172, 173 an-geführten geometrischen Construction eine mechanische gebe, unddass die Caustica durch das Eollen zweier Kreise entstehe. Es seiuämlich (Fig. 74) mit dem halben Eadius des Kreises ALM einKreis CGHN beschrieben, und dann ein ■anderer, dritter, Kreis mithalb so grossem Halbmesser, der sich auf CGHN abwälze, so ist dieLänge des Quadranten CH gleich dem Halbkreis AC, ferner istDogen GF = Bogen GH, oder, da Bogen GF = Bogen CB ist, BogenCB = Bogen GH, also Bogen AB = Bogen CG. Heisst nun derRadius des ruhenden Kreises: E, der des wälzenden: r, so ist

ZACB = ~ . 180«; ZCJG = ™ . 180« = ^ . i 8 0», folg-lich, da Bogen AB = Bogen CG ist,

.. » rrr» _ n

2rzr

also auchoder

aber auchalsofolglichalso

Es ist also immer

Peripheriewinkel ACB = Centnwinkel CJG,

ZEGF = ZCJGZEGF = Z KJG,ZEGF = ZKGJ,Z KGJ = Z KJG,ZEGF = ZKGJ =Z KJG = Z JGE.ZEGF = ZEGJ.

=ZKJG=zreR,

iüll Uri-DU lUlUlCl ^*—

In den Dreiecken LFG, JEG ist nun also

LG = JGZLFG = Z JBGZ LGF = ZJGR

als o ist Z LFG^ AJEG,

folglich GF = GE.

Dieselbe Eigenschaft war für die Caustica (vergl. Fig. 73) characte-

') S. Weissenborn: „Cyclische Curven”, pag. l54 ’ 155,