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§. 9. Seine Brcnnlinien.

ristiseh. Es ist also die Caustica eine Epicycloide, oder beide Curvensind identisch ').

Diese Sätze Tschirnhausens scheinen auch Andere bewogen zuhaben, auf diesem Gebiete Forschungen anzustellen. So finden wirz. B. in den Act. Erudit. Mensis Junii 1692, pag. 291, eine Ab-handlung, betitelt: „J. B. Additio ad Schedam de lineis cycloidalibus&c. Proximo Maji Actorum mense. pag. 207 & seqq. exhibitam”,in welcher Jacob Bernoulli zeigt, dass die Catacaustica einer Cardioide,d. h. einer Epicycloide, in welcher der wälzende Kreis ebenso grossist, wie der ruhende, wenn der leuchtende Punkt sich in der SpitzeA (Fig. 75) befindet, ebenfalls eine Tschirnhausensche Epicycloideist, d. h. eine solche, deren ruhender Kreis noch einmal so grossist, als der wälzende, indem sich ihre Radien verhalten wie 2:1.Es sei gestattet, diesen bemerkenswerthen Satz hier zu beweisen.Es sei.also A (Fig. 75) der leuchtende Punkt, AP ein einfallenderLichtstrahl, BP die Normale der Cardioide für den Punkt P; so gehtdieselbe bekanntlich durch den Berührungspunkt B des ruhenden unddes wälzenden Kreises 2 ). Da beide gleiche Halbmesser haben, istder Distanzwinkel AMB gleich dem Wälzungswinkel PNB, welcherletztere o) heisse. Ferner ist AB = PB. Es sind also nicht nurdie Dreiecke AMB, PNBr sondern auch das Dreieck ABP gleich-schenklig , also Z BAP = /BPA. Nun ist Z ABM = Z BAM

=A(BPN — ,/PBN = 90 ö ——. Es machen ferner die vier Winkel

des Vierecks MAPN vier Rechte aus, diese vier Winkel sind aber = 2• (,/BNP -f- /(PBN -f- Z ( p)> es ist demnach ^/BNP +./PBN + /_<$= 2R, folglich AP || MN, mithin ist das Viereck MAPN ein Trapez.

Es ist also der Einfallswinkel cp — 1 80 0 — to — ^90°— =90 0 ——>

mithin Z c p — /_$. Es ist also PN der reflectirte Strahl; derselbegeht demnach stets durch den Mittelpunkt N des wälzenden Kreises.Der Winkel, den er mit dem positiven Theil der Abscissen -Axemacht, heisse a, so ist

Z « = Zß + Zy

oder Za — 90 °—io + 180° — w = 270° — 2w,

folglich tang . u = cotang . 2w,also tan g( 18 0°- «) = — cotang . 2w.

Heisst nun die Abscisse dos Punkts P, also MQ,: x, die OrdinateQP : y, so ist

QT

tang (180°— a ) cotang 2 a>

also

MT = x —

cotang 2 w’

’) Nach Weissenborn: „Cyclische Curven”, pag. 53, überzeugt man sich so-gleich, dass LF die Tangente im Punkt F der Epicycloide ist.

2 ) Ebendaselbst, pag. 53.