§. 9. Seine Brennlinien.

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folglich MS = MT . taug . (180° — a) = (x — - L _\

\ cotang 2m/

. (— cotang 2m) = y — cotang . 2co.

Also ist die Gleichung des reflectirten Strahles

Tji = g, cotang . 2m + y — x cotang 2m.

Ist nun der Eadius der die Cardioide erzeugenden Kreise: E, so istdie Gleichung dieser Curve 1 ):

x=2E sin m— E sin 2my = 2E cos m — cos. 2m.

Setzen wir diese Werthe in die Gleichung des reflectirten Strahlesein, so lautet dieselbe:

rjy = g, cotang. 2 m+2E cos m—E cos 2 m—2Esinmcotang.2m+ E sin 2m cotang . 2m

= gi cotang.2m+2Ecosm—Ecos. 2m—2Esinm cotang.2m+ E cos 2m

= gi cotang 2m + 2Ecosm — 2Esin m cotang 2m

:gi cotang . 2m + 2Ecosm — 2Ksinm —.

cos 2 m

2 sin m cos m= & cotang . 2m + ™ C ° -i^

oder

= gi cotang 2m +Vi — cotang 2 m ■

E

cos mE

cos m(2 cos 2 m-

■ cos 2 m + sin 2 m)

Hie Gleichung eines benachbarten Strahles ist nun

%= h cota ng P(» + Am)] + cos ( w + /\ w )'

I'in die Coordinaten g, >] des Durchschnittspunktes beider Strahlen2u finden, ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten ab, soer giebt sich

g . A [cotang . 2m] + E. A ( c0 ~~j = 0oder, wenn wir mit A m dividiren,

A——

■ A cotang ■ 2m _ r cos a> .

^ • /\m Am

Ha die Caustica durch den Durchschnitt von je zwei unendlichnahen Strahlen gebüdet wird, gehen wir von den Differenzen zuden Differenzialen über, so dass wir haben

. d cotang. 2 m __

® dm

\COS Oil

dm

') S. Weissenborn: „Cyclische Curven”, pag. 43.Weissenborn: Ehrenfried Walther von Tsohimhaus.

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