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§. 10. Seine Auflösung der Gleichungen.

t)

z 3 + 3az 2 3a 2 z+a 3— 2qz 2 —4qaz—2qa 2-U q 2 z —q 2 a— qb 2 z—qb 2 a+ 3rbz + 3rba—r 2—qrb+rb 3

In der Tliat folgt aus der „aequatio assumta” y 2 =r by -|- z + a

b , V~ “b 2

y=o±i z + a + T-

Wird liier das + Zeichen genommen und der Werth y =

+

/ b 2

za + . in die Gleichung y 3 -

-qy — r = o eingesetzt, so

erhält man die von Tsehimhaus aufgestellte Gleichung. Nun be-stimme man a und b so, dass die Coefficienten von z 2 und z Nullwerden, löse also die Gleichungen auf:

3a — 2q = o3a 2 —4qa + q 2 —qb a +3rb = o,so ergiebt sich a = ffq

r

. s• ^

--I-

K27i

4q 3

12q 2

oder

12q 2

' - !• ' ! ■

Werden diese Werthe für a und b in die Gleichung eingesetzt, sohat man eine reine cubische Gleichung; aus derselben ergiebt sichsofort:

3 f r V r 2 q 3 "I

’ <1 " 1-2 ~ | 4 27J

-PH' ± it-sMPH

(| 3 tb

Tschirnhaus führt nun ferner die Werthe von a und b auf, welcheangenommen werden müssen, wenn die Gleichungen x 4 + qx 2 + rX+ s = o; x 5 +qx 3 -f-rx 2 -f-sx-l-t=o; x°-)-qx 4 -|-rx 3 -(-sx 2 -|-tx-)-u = odurch die Substitution x 2 = bx + y + a in solche Gleichungen mitder Unbekannten y verwandelt werden sollen, in welchen die Glieder,welche die Unbekannte bezüglich in der 3 ten und 2 ten , 4 ten und 3 te “,5“" und 4 ten Potenz enthalten, fehlen; zugleich setzt er hinzu, dasser auf die oben (s. pag. 179) angegebene Weise nicht nur, wie iodiesen Beispielen, zwei Glieder, sondern auch drei, vier u. s. W-herausschaffen könne. Zunächst bemerkt man sogleich, dass in denangeführten Beispielen mit Hülfe der Gleichung x 2 = bx+y+a imGrunde nur ein Glied entfernt wird, denn Tschirnhaus setzt solcheGleichungen x 4 + qx 2 + rx + s = o; x 5 + qx 3 + rx 2 -f- sx + t = o;x°-)-qx 4 +rx 3 -(-sx 2 -(-tx-|- u = o als gegeben voraus, in welchen be-reits ein Glied auf die bekannte Weise entfernt ist, und in der neuen