§. 10. Seine Auflösung der Gleichungen.

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Gleichung mit der Unbekanteii y ist daun eine Grösse, a, so zubestimmen, dass auch in ihr das zweite Glied fehlt, es bleibt alsonur eine Grösse b übrig, die so bestimmt werden kann, dass nochein Glied, also noch eins mehr, als in der gegebenen, schwindet.Zweitens sagt Tschirnhaus zwar, es sei nicht nöthig, dass, bevorseine Substitution angewandt werde, erst das zweite Glied entferntwerde, indem man, um dies sogleich mit herauszuschaffen, nur dieSubstitution x 3 = cx 2 -|-bx+y-j-a anzuwenden, und die drei Grössena > b, c der gemachten Bedingung gemäss zu bestimmen habe. Demist aber, falls man den Weg einschlägt, den Tschirnhaus verfolgt,nicht so. Denn schon bei cubischen Gleichungen geräth man aufeine Gleichung vom 4 ten Grad, wenn man zwei Glieder auf einmalhinwegschaffen will. Es sei z. B. gegeben die cubische Gleichunga 3 +px 2 +<l x +r=o, es werde hier nicht erst das mit der Unbekanntenin der zweiten Potenz behaftete Glied herausgeschafft auf die ge-wöhnliche Weise n. s. w., kurz, es werde nicht der Wog verfolgt,den Tschirnhaus bei dem von ihm beigebrachten Beispiel cinschlägt,sondern man setze unmittelbar in die gegebene Gleichung x 3 + px 2

+ qx-|-r=:o ein: x 2 = bx+y-f-a, oder y:

■ +

y+a+

b 2

wie

Tschirnhaus gethan hat, und nun suche man a und b so zu be-stimmen, dass die Glieder der neuen Gleichung, welche y 2 und yenthalten, sich annulliren, so erhält man, wie man sich nach einigerRechnung überzeugt, die Gleichungen:

3a—b 2 — bp — p 2 -f-2q =: o

3a 2 —2ab 2 —2abp — 2ap 2 +4aq—b 4 — b 3 p + bpq-f-q 2 = o,die nach a und b als Unbekannte aufzulösen sind. Hiebei aberergiebt sich für b eine Gleichung 4*“ Grades, also von einem höherenGrade, als die ursprünglich gegebene Gleichung Es ist also diesesVerfahren nur möglich, wenn die cubische Gleichung erst schon aufdie Form x 3 +px+q=o gebracht worden ist. Versuchte man fernerauf die angegebene Weise, in einer Gleichung 4 ten Grades, z. Bx 4 + px 3 -f-qx 2 + r x+s = o die drei mittleren Glieder auf einmalWegzuschaffen, was nach Tschirnhaus bewirkt wird durch die Sub-stitution x 3 = cx 2 + bx + y + a, so wäre hieraus x durch y auszu-drücken und dieser Werth in die gegebene Gleichung einzusetzen,dann wären a b, c so zu bestimmen, dass die Coefficienten vony 3 , y 2 , y Nu n’ w ’ärcn. Um aber x durch y auszudrücken, wäredie cubische Gleichung y 3 =cx 2 +bx+y+a nach x aufzulösen. Hie-

zu müsste erst mittelst der Substitution x = z + | das zweite Gliedweggeschafft werden, so dass mau die Gleichung erhielte: z 3(b + _ ( 2a3 + - + y + a) = o. Es ergäbe sich dann z,

^ ® ^ / 2 a a 2 \

wenn man in der Gleichung ff) auf pag. I 80 + 3 3 / ur