§. 10. Seine Auflösung der Gleichungen.

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Man hat also

(a + b + c) 4 = 4(ab + ac+bc)(a+b+c) 2 — 8abc(a-f b-f c) — 2(a 2 b 2

+ a 2 c 2 +b 2 c 2 )+a 4 +b*+c 4

oder

(a 4- b + c) 4 — 4(ab + ac 4" be)(a4b4c) 2 4 8 abc(a4b4c)42(a 2 b 24a 2 e 2 4b 2 c 2 )— a 4 — b 4 — c 4 = ooder, wenn man setzt

a 4 b 4 e =

x 4 —4(ab4ae+bc)x 2 -48abcx4-2(a 2 b 2 +a 2 c 2 4-b 2 c 2 )-a 4 —b 4 —c 4 =o f)

und umgekehrt eine Wurzel dieser Gleichung ist

x = a 4 b 4 (*•

Diese Gleichung selbst stimmt mit der von Tschirnhaus angewandten(s- pag. 184 f))

x 4 — 4abxx + 4abcx -j- dupl. □ ab 4- ac 4- bc

— 4ac —a 4 —b 4 — c 4

— 4bc

Welche, nach jetziger Schreibweise ausgedrückt, so lautet

. x 4 —4(ab4ac+bc)x 2 +4abcx4-2(a 2 b 2 4a 2 c 2 +b 2 c 2 )-a 4 ~b 4 -c 4 =o

bis auf das Glied 4abcx, welches offenbar 8abcx heissen muss, überein,bezeichnen wir ab-4ac4bc mit y, abc mit z, so lautet siex 4 —4yx 2 4-8zx4'2(a 2 b 2 4-a 2 c 2 +b 2 c 2 )—a 4 — b 4 — c 4 = o,

Wofür Tschirnhaus, indem er a 2 b 2 +a 2 c 2 -(-b 2 c 2 mit (ab + ae 4 bc) 2verwechselt zu haben scheint, irrthümlich schreibt (s. pag. 184)

x 4 —4yx 2 44zx42yy — a 4 —b 4 —c 4 = o.

Ist nun eine Gleichung 4‘ 6n Grades gegeben

x 4 —px 2 4 qx — r = °>

80 setze man x == () + b + c ’

dann müssen nach t) a, b, e so beschaffen sem, dass4(ab 4 » c + bc) — p8abc = q

2(a 2 4b 2 4° 2 ) — a *—b 4 — c 2 = ‘ r , ,.. , ,

ist. W e aber diese Gleichungen nach a, b c aufgelost werdensollen ohne auf Gleichungen 4*“ Grades zu tühron st m der Thatnicht abzusehen. Auch mag sich Tschirnhaus selbst hievon über-zeugt haben, denn in seiner Antwort auf d “. ^handelten

Brief schreibt Leibniz ■), es seien ihm von , Ts ® "'f Bnrf . V)

drei Methoden, Gleichungen zu lösen mdgetheilt worden: „pnmaOst per enumerafiones formularum irrationalmm, tollendo irrationales,

sed V? e 1 numeratlon i cb die zweite ist die soeben behandelte

8e a calculo onus est nmnenso y ait*w

.. V, | , ipi. zu setzen und nun a, b, c etc.

» S4“r,,4.5,4

veniendi, nemne si sit -t m. ■ ~

* 4 4i«4(S+dx + onq*) t° llcnd0 x p° r y ct ope arbitrar,aram

’) Gerhardt: „Leibnizens mathemat. Schriften. Band IV”, pag.477. Brief VIII.2 ) Das Zeichen „n" gebraucht Leibniz für (las jetzt übliche) Soll offenbar heissen „y”.