184

§. 10. Seine Auflösung der Gleichungen.

bus patet haee nihil aliud esse quam perfectionem Elementorum lib. 2.Euelidis; qui si bene processisset, nobis talia Theoremata debebat ex-hibere, ille saltem unicum eommunicavit prout ego desidero ex. g-xx = aa(bb) + 2ab, ubi utique tota potestas ex puris primitivis. Ac tan-dem hine parte tertia ostendo ope talium Theorematum quaetune inyeni, hoc est potestatum quae fiunt a linea rectasecta in quotcunque partes et quae ex puris primi-tivis quantitatibus constant, non solum omnium aequa-tionum radices universales determinari, sed et par-ticulares quae eandem cum prioribus compositionemobtinent, quam demonstrationem si destruere valeas, magnum quidmihi praestabis”; „hinc quoque quod supra promisi facile ostendam,nimirum sit

x 4 — 4abxx + 4abcx -|- dupl. □ ab + ac + bc

— 4ab — a 4 — b 4 — c 4 f)

—4be

ponatur x 4 — px 2 -j- qx — r — o, atque hinc comparatione institutahabebimus tres aequationes pro tribus literis a, b, c inveniendis, atqueinvenies aequationibus hisce reductis ad cubicam perveniri aequationem,atque sic x quod = supponitur a + b + c habebitur, hoc est radix□ to — ö to aequationis ope cubicae quae revera diversa sunt ab iisquae percenses, et vides quidem rem mihi optime succedere ad meumfinem obtinendum, quare tua utique quae adfers me nullatenustangunt, ut dixi. Verum quia reductio ordinaria via proeedendo la-boriosa, ego ostendi exemplo, qua ratione haec eo reducere valeamus,ut nihil aliud opus erit quam hanc aequationem solvere ab + ac+ bc = p, abc— q, a 4 -f b 4 -j-c 4 = r, quod facillimum, ct eo exemplouniversalem viam, qua ratione semper res ad tales quacstiones resol-vendas, ubi reetangula et potestates occurrunt, reducere possimus,quod fateor non facile intelligetur nisi quis mecum calculetur, tuneetenim videbit causam hujus reductionis ab hac aequatione penderex 4 —4yxx+4zx—2yy— a 4 — b 4 —c 4 . Sit jam x 4 — pxx+qx — r,nam hinc statim patet comparatione facta esse 4y=p, adeoque j=

4z = q, adeoque z = ^; jam 2yy — a 4 — b 4 — e 4 =—r, in hacacquationo y potost restitui et habebitur a 4 + b 4 + c 4 = r -f-

s

adeoque reduxi rem eo, ut sola reetangula y, z adsint et potestatesaequales cognitis quantitatibus, et hinc si velis respicere ad Theo-remata A. et B, observabis hoc necessario semper fieri posse”. Viel-leicht ist Tschimhausens Gedanke der gewesen: Es ist

(a + b -|-c) 4 = a 4 +b 4 +c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 +4a 3 c+4ac 3 + 4b 3 c+4bc 3+ 12a 2 bc+12ab 2 c+12abc 2 +6a 2 b 2 + 6a 2 c 2 -l-6b 2 c 2 .

Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber gleich

4(ab + ac-f-bc)(a-f-b-f-c) 2 — 8abc(a + b + c) — 2(a 2 b 2 -f- a 2 c 2 + b 2 c 2 )-t-a 4 4-b 4 +c 4 .