Gleichungen und Proportionen —

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16 [27]. Die Gleichungen ersten Grades.

Lässt sich eine Gleichung-, nachdem man (15) Brüche,Bruchpotenzen, etc., weggeschafft, und die eine Seiteauf Null gebracht hat, nach den Potenzen der Un-bekannten ordnen, so heisst sie algebraisch, und diehöchste Potenz bestimmt ihren Grad, — lässt sie sichnicht ordnen, so heisst sie transcendent. So ist jedeGleichung, welche sich auf die Form

ax + b = 0 bringen, somit durch x = — h : aauf eine Gleichheit reduzieren lässt, eine algebraischeGleichung ersten Grades, und der angegebene Wertvon x stellt ihre einzige und reelle Wurzel dar.

17 [21]. Die Verhältnisse und Pro-portionen. Ist a — 1) = m und a: b — n, so nenntman m das arithmetische, n das geometrische Verhältnisder Grössen a und b; durch Gleichsetzung zweierentsprechenden Verhältnisse aber erhält man eine sog.Proportion. Vier Zahlen bilden daher eine arithmetischeProportion

zu wie zu

a ■ b : c • d -wenn a + d = b + c 1

eine geometrische Proportion

zu wie zu

a : b :: c : d wenn axd = bxc 2

und sind von den 4 Zahlen dreie bekannt, so lässtsich die vierte durch Auflösung einer Gleichung erstenGrades finden. Beide Proportionen heissen stetig, wenndie innern Glieder gleich oder (11) Mittel der äussernsind. — Aus 2 folgen

a: c:: b : d, b : a :: d: c, a : bin :: c : dm,

(a + b): b :: (c + d): d 3

Ist ferner e : f:: g : h, so verhält sich auchae: bf:: cg: dh und wenn a: c :: (a — b): (b — c) 4so nennt man b harmonisches Mittel zwischen a und c.