3 6

Cl. Gasparis Bache ci.

L2.

G2. M2.

£ 2. H 2, N 2.

F2. Ki \ O 2.

A 2. B 4. C 6 . D 8.coroll. 1. p 7, Qjo. R 4. T 5. V XO.L X70. Y 200.

huius.

tionum aequabitur triangulo praecedentium comparationum adfcifcenti suum lacus vnitate auctum,vnde fiec triangulus proxime maior ex definitione triangulorum. Quamobrem ex omni parte paterpropositum.

P RO P 0 S ITIO D EC 1 M AQ C T AV A.

In hac progreslione si polygonus quilibet minimi ducatur in triangulum numeriterminorum, & producto addatur solidus contentus sub quadrato mininn, sub numeroangulorum, binario multato, & sub summa totidem triangulorum ab vnitate quot suntipsi numeri vno minus, fiet summa similium polygonorum a singulis.

Sint in hac progressione A B C D. & sit P. quilibet polygonus minimi,puta heptagonus,sitque Q^triangulus numeri terminorum , quo ductoin P, fiat X. sitque R. quadratus ipsius A. & T. numerus angulorum bi-nario multatus ,& V. summa totidem triangulorum ab vnitate , quotsunt ipsiBCp. & solidus sub ipsis RTV. esto Y. dico aggregatumduorum X Y. aequari summae similium polygonorum, puta heptagono-rum a singulis A B CD. Quia ' enim A.continetur in Ö. bis,in C. ter,in D. quater, resoluantur B C D. innumeros aequales ipsi A. puta B. inEF. At C in G H K. ac demum D.inLMNO. Itaque per scholiurn 10. primi polygonus B. aequa-tur polygonis ipsorum E F. & producto ex E, in F, seu quadrato R. ducto in T. similiter polygonusG. aequatur polygonis G HK. & productis ex qualibet parte in quamlibet ex aliis , seu totidem qua-dratis R. ductis inT. denique polygonus D. aequatur polygonis ipsorum LM NO. & productisex quolibet in quemlibet ex alijs, seu totidem R. ductis in T. quamobrem si his omnibuspolygonis & productis addatur polygonus ipsius A. patet polygonos a singulis A B C D. continerepolygonum ipsius A. seu ipsum P, semel, bis, ter, quater, & sic deinceps, id esi secundum vnita-tes trianguli & praeterea ipsum R. ductum in T. semel, ter, sexies & sic deinceps secundumtriangulos ab vnitate, id est secundum vnitates ipsius V. per praecedentem. Quamobrem poly-goni ä singulis A B C D. aequantur producto ex Qctn P. seu ipsi X. adfcifcenti solidum subR.T.V'.nempe ipsum Y. Quod demonstrandum erat.

PROPOSITIO D ECIM AN ON A.

tn hacprogreflione aggregatum productorum ex minimo in maximum semel, insecundum ab ilio bis,in tertium ter , in quartum quater , & sic deinceps, aequaturpfoducto ex quadrato minimi in summam totidem triangulorum ab vnitate, quocsunt ipsi numeri.

Sint in hac progreslione A B C D. Dico si A. ducatur in D. semel, in C. bis,in B. ter j in A. quater , & sic deinceps, aggregatum productorum, aequariproducto ex A. in summam totidem triangulorum ab vnitate. Etenim su-mantur totidem numeri ab vnitate secundum seriem naturalem dispositi

A.2. B. 4. C. 6. D. 8.N. 4. M.3. L. 2.K. 1.E.i. F.2.G.3. H. 4

O P 5 Q 6 R mautiu luiiuiui numen au vmuic lauiiuuui icncui u«uuidicui uiipoiui•4- ' '4' E. F. G. H. quibus superponantur totidem illis aequales ordine inuerso,puta

Coroll K L M N.’ & ex K. in H. fiat R. ex L. in G. fiat Q^ ex M. in F. fiat P. ex N. in E fiat O.1. huius 1 Batet A. contineri in A. secundum E. in B. secundum F. in C. secundum Q^in D. se-cundum H. Quare cum K. sit vnitas , si A. ducatur semel in D. productus continebit qua-dratum ipsius A. toties, quoties productus ex K. in H. puta R. continet vilitatem. Similiter

3 uia £. est binarius , si A. ducatur bis in C. productus continebit quadratum A. tocies quoties pro-uctus ex E. in G. puta Q^continet vnitatem. Eodem argumento probabitur productum ex A. inB. ter toties continere quadratum A. quoties P. continet vnitatem, & rursus productum ex A. in A.quater toties continere quadratum A. quoties O. continet vnitatem. Quamobrem producti om-nes ex A. in D- semel,in C. bis, in B. ter, in A. quater, toties continent quadratum A. quot suntr 4 ;i. appeti, vnitates in summa ipsorum O PQJl. sed summa ipsorum O PQR. 3 aequatur summte triangu-lorum ab ipsis E.F.G. H. Igitur producti omnes ex A. in D. semel in C. bis, in B. ter, in A«quater toties continent quadratum A. quot sunt vnitates in summa totidem triangulorum'ab vni-tate. Quod demonstrandum erat.

PROPOSITIO Yl&ESIMAi

In hac progreslione, si numerus terminorum vnitate auctus, ducatur inpolygo'num maximi, & a producto auferatur solidus contentus sub quadrato minimi, sek