Capitel II.

Differentiale höherer Ordnungen von entwickelten Functioneneiner unabhängigen Veränderlichen.

§.5. Allgemeine Sätze über independente Darstellung derD iffere n tial q u o ti en ten höherer Ordnungen entwickelterFunctionen einer unabhängi g en Verä nderl ichen.*)

Zur Abkürzung soll in der Folge das Product aller positiven gan-zen Zahlen 1.2.3...» nach Kramp mit »! (n Facultät) und der

n(n — 1) (» — 2) .. . [n — r + 1)

mit n r oder (»),■ be-

Binomialcoefficient , _ .,

1. 2. 3. .. . r

zeichnet werden. Unter » 0 und 0! ist immer die Zahl 1 zu verstehen.

Bezeichnen u und v beliebige Functionen der unabhängigen Ver-änderlichen x, so gelten lür die Bildung der UilJ’erentiale höherer Ord-nungen folgende Vorschriften:

I. d n (« + ») = d n u 4- d n v

II. d n (Au ) = Ad n u,

wenn A eine von x unabhängige Grösse bezeichnet

III. d n (uv ) = ud n v + rij du d n ~ ] v 4- n 2 d i ud n ^~ 2 v 4- .. .

+n n -yd n ~ l u dv 4- d"u. v

k — n

= 2 n k■ d k u d n ~ k v = svmb. (du+dv) n (Satz von Leibnitz).

4=0

Wie die symbolische Entwicklung von (du + dv)’> nach dem bino-mischen Lehrsätze zu verstehen sei, erhellt aus der vorhergehenden aus-führlichen Formel. Es möge noch hervorgehoben werden, dass d°u undd°v die Functionen u und v selbst bedeuten.

Bezeichnet F(u) eine mittelbare Function von x, so gilt in demspeciellen Falle, wo u eine lineare Function von x ist, für jeden posi-tiven, ganzzahligen Werth von n der Satz d"F(u) = F^ n \u) d x u n . (Vergl.Formel VI, §. 1 für n = 1.) Ist dagegen u irgend eine andere Function

*) Vergleiche Hoppe: Theorie der independenten Darstellung der höheren Differen-tialquotienten, Leipzig 1845.