73

18) tanga: nach Potenzen von x zu entwickeln.

Es sei tanga; = (fix), alsdann ist:

(f {x) = sec 2 a: = 1 4- tang 2 a; = 1 + [fp(x )~]' i ;

W( x ) = (p'{x)(p'ix)\

W'ix) = (p\x)(p'{x) +cpix)(p'\x)-,

\(p ,v {x) = (p"{x)(p l ix)+2<p'ix)(p"{x) + <p{x)(p"Xx)-,{(p^+^ix) = ) fp'{x)+n l (p‘ ( - n ~ 1 Xx' / (f"(x)-{-n 2 (p ( - n - 2 Xx)<f”'(x)-l-"--

+ n 3 q>"'(x) (p^\x) + n 2 <p"{x) (p^-'Xx)

+ ntf'ix) 5pW(a:) + (fix) <p( n+1 Xx).

Nun ist

9>(0) = (f"i 0) = g> IV {0) = (p Vl { 0) = .... = (pW{ 0) = 0; also:

|rjp(«+2)(0) = yC«)( 0) tp’i 0) + n^f^-^XO) </>"'(0) + w 4 yt« +(0) (f K (0)+ n 6 (p^ 6 \0)(p » + • ■ • •

r/(0) = 1; 9>"'(0) = 2; gp^O) = 16 = 2*; (p v, \ 0) = 2« . 17;

(p ]X { 0) = 2 8 .81; <p XI ( 0) = 2».691; y™(0) = 2< 2 .5461.

Es ist also:

. , 2 , , 2* , , 2*.17 , 2 8 .31 0

tanga: = x + j-\ X + öl x ^~T\~ X + “9 !“ x +

, 2«.691 ,

+ -nr*

+

2 12 .546113!

x iS + ■

Allgemein ist

, ß 1 .2 2 .(2 2 —1) B 3 .2 4 (2 4 —1) , ß 5 .2 6 (2 6 — 1) ,

lang* - -i—^- ' X + -A_ 2 _ --

worin die Coefficienten B die sogenannten Bernoulli’schen Zahlensind, und zwar ist

B± = b ß 3 = ~j n , ß 5 = 4*j, ß- = TiV' ^9 = Ti(Ti Bll = /tV«>B 13 — b Bi 5 = etc.

Diese Zahlen befolgen kein einfaches Bildungsgesetz. Durch andereBetrachtungen kann man nachweisen, dass die Beihe für tanga: nur

dann convergent ist; wenn der absolute Betrag von x kleiner ist als-^--

Beispiel. tangl8° = tang-j^iT; = 0,314159265 + 0,010335426++ 0,000408026 + 0,000016300 + 0,000000652 + 0,000000026 ++ 0,000000001 = 0,324919696.

5