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Einfacher gelangt man zum Ziele, wenn man statt der Veränder-lichen selbst ihre Differentiale eliminirl. ln dem System von (m+1)Gleichungen, das man erhält, wenn man die Differentiale der (m+1)Functionen (p 1 , (p 2 ,...(p m , genommen in Bezug auf alle darin vor-kommenden Veränderlichen gleich Null setzt, treten nämlich die Differen-tiale dx, dy,... linear auf, und man kann daher im Allgemeinen m dieserDifferentiale eliminiren. Hierdurch erhält man eine Gleichung, in welchenur n der Differentiale eingehen, die nun als von einander unabhängigzu betrachten sind. Setzt man die Coefficienten dieser Differentialeeinzeln gleich Null, so erhält man n Gleichungen, welche, zusammen-genommen mit den m ßedingungsgleichungen =0, (p 2 = 0,.... (p m = 0im Allgemeinen die Bestimmung der Werthegruppen x,y,B,t,... gestatten,für welche die Function f Maximal- oder Minimalwerthe erreicht.

ln den meisten Fällen ist jedoch die Methode der sogenanntenunbestimmten Multiplicatoren dem soeben besprochenen Ver-fahren vorzuziehen. Diese Methode besteht darin, dass man nach Multi-plication einer jeden der Functionen <p i , (f 2 , ■.. (p m mit einem unbe-stimmten, constanten Factor X, y,v,...n der Function f die Function

F = f(x, y, s, t ,...) — X(p l — j.«p 2 — v(f 2 —-- Tt(f m substituirt, hierauf

säinmtliche partiellen Ableitungen erster Ordnung dieser Function, ge-nommen in Bezug aut die als von einander unabhängig betrachtetenVariablen x, y, g,t... gleich Null setzt und die m unbestimmten Multi-plicatoren X, u, v ,.. . n so bestimmt, dass die m Gleichungen (p l = 0,(f 2 — 0,.... cp m == 0 erfüllt sind. Hiernach wird die Aufsuchung derrelativen Maxima und Minima der Function f zurückgeführt aut dieBestimmung der absoluten Maxima und Minima der Function F. Die(m + n) Gleichungen

dF _ §f _ } <5 f /! _ <Va.._.

dx dx dx dxdF _ df . dtf i d<p 2dy ~ dy dy ,U dy

■ n

■ n

d(pm

dx

d(f„

dy

= 0 ,= 0 ,

etc.

in Verbindung mit den m Bedingungsgb ichungen tjr, = 0, <f 2 — 0,.... (f m — 0