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61) Aufg. In einer Seite BC eines gegebenen Dreiecks ABC ist einPunkt D gegeben; man soll von diesem nach zwei zu fin-denden Punkten E und F in den beiden andern Seiten ABund AC zwei Linien DE und DF, die einen gegebenen Win-kel X einschliessen, so ziehen, dass das hierdurch entstan-dene Dreieck seinem Inhalte nach ein Minimum wird.

Lös. Bezeichnet man die beiden Stücke BD und DC der Seite BCmit m und n , die Winkel BDE und FDC mit x und y, soist der Inhalt des Dreiecks DEF durchi,mn sin B sin C sin X

gegeben, der ein MinimumHierdurch erhält

sin (2 R — x — B) sin (x + X — C)wird, wenn der Nenner ein Maximum ist.man 2 R — 2a? — B — X+C = 0, woraus y — x = B — Cfolgt. Die Construction ist hiernach folgende: Man fälle vonD auf die Seiten AB und AC Perpendikel DM, DN , halhireden Winkel MDN und trage zu beiden Seiten der Halbirurigs-linie DO gleiche Winkel ODE und ODF = {X ab, wodurchman das verlangte Dreieck DEF erhalten wird.

62) A u lg. In einer Ebene sind zwei parallele Linien gegeben, die voneiner dritten unter rechten Winkeln geschnitten werden;ebenso ist ein Punkt in derselben Ebene gegeben. Es solldurch diesen eine solche die beiden Parallelen schneidendeGerade gezogen werden, dass das Product der Stücke, welcheauf den Parallelen zwischen dieser neuen und der gegebenenschneidenden Linie liegen, ein Maximum sei.

Lös. Die Abstände des gegebenen Punktes von den beiden Paral-lelen seien m und n, der Abstand von der gege-

benen schneidenden Linie sei h. Je nachdem der gegebenePunkt entweder innerhalb oder ausserhalb der Parallelen liegt,

sind die verlangten Stücke

h(m±n) , h(m±zn)—-- und -•

Im

2m 2 n

ersteren Falle werden die Stücke auf derselben Seite, im zwei-ten auf verschiedenen Seiten der gegebenen Schneidendenliegen, und es wird in beiden Fällen von derjenigen Paral-