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dem Radius des festen Kreises ist und der erstere auf der innern Seitedes letzteren rollt, so wird die entstehende Hypocycloide (eine sogenannteAstroide) gegeben durch die beiden Gleichungenx = rcos a <p, y = rsin 3 ^,

oder nach Elimination der Grösse cp durch die eine Gleichung 3 $+^£=»••’•(Vergl. Aufg. 1 und 8.)dx

<ty_ _dcp

3 r sin 2 y cos cp,

Hieraus folgt = —3rcos 2 ysin^p,dy

tanga = -j- = —tangqp.doc

Aus der letzten Gleichung folgt, dass a = n — cp, und es lässt sichsomit die Tangente in jedem Punkte der Curve leicht construiren.Ferner wird ds = 3>rs\ncpcoscp dcp,

q == —3r sin cp cos cp = —|» sin2y.

Die Evolute wird dargestellt durch die GleichungenX = rcoscp(cos 2 cp + 3sin 2 </>), F = r sin </> (sin 2 </>-f- 3cos 2 </>).X'+Y' „ X'—Y' h

y+-

Selzt man X

y =

cp.

4 ’

so kommt:

\/2 V 2

X' = 2rcos 3 i//, Y' = 2r sin 3 )//.

Es ist somit die Evolute der vorgelegten Curve ähnlich und ent-steht dadurch, dass ein Kreis vom Radius \r auf der innern Seite einesfesten Kreises vom Radius 2 r rollt.

Die vorgelegte Curve ist vollkommen symmetrisch in Rezug aufbeide Coordinatenaxen; sie besitzt in den vier Punkten x = ±r, «/ = 0und x = 0, y = dkr Spitzen erster Art, in welchen die X resp. Y Axedie zugehörigen Tangenten sind.

47) Aufg. Es soll die gedehnte oder verkürzte Epi-cycloide und Hypocycloide untersucht werden.

Lös. Wenn wieder ein gegebener Kreis auf einem anderen gege-benen festen Kreise rollt und wenn mit diesem rollenden Kreise innerhalboder ausserhalb seiner Peripherie ein Punkt fest verbunden gedacht wird,so beschreibt dieser Punkt eine Epicycloide oder Hypocycloide,je nachdem die Kreise sich von aussen oder von innen berühren, undzwar wird es eine gedehnte oder verkürzte Curve, je nachdem der