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— Einige Vorkenntnisse ans der Arithmetik.

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zuletzt Prof. math. Strassburg ), der auch das Symbol b! einführte, eineFakultät. — b. Das „n über h“ ausgesprochene Symbol ^ jj ^ kömmt nach

Baltzer (Elemente 3. A. pag. 131) zuerst in den nachgelassenen Schriften vonEuler vor, so in den Acta Petrop. V 1 p. 89, V 2 pag. 76 und Nova Acta Vp. 52; früher brauchte auch Euler (vgl. z. B. Introductio I 53) dasselbe nicht,und allgemein bürgerte es sich erst im Laufe des gegenwärtigen Jahrhundertsein. — c. Ist p < q und p q = h, so geht 5 in

h! (h — p + 1)... h

P" (h):

O

p! >c (h ■— p)! p I

über. — d. Für eine ändere Ableitung von 6 vgl. 34. — e. Früher variiertenauch die Einzelnbezeichnungen: So bezeichnete Leibnitz mit Komplexionen, waswir jetzt unter Kombinationen, mit Variationen, was wir seit Jak. Bernoulli unterPermutationen verstehen. — /. Die ersten Spuren der Kombinationslehre findensich schon im Altertume, da bereits Buch 7 der Sammlung von Pappus einenSatz enthält, welcher entsprechend unserer 6 besagt: „Aus 3 Elementen lassensich 10 Kombinationen mit Wiederholung zur Klasse 3, und 6 dergleichenzur Klasse 2 bilden“. Sodann weist auch das Abendland ziemlich frühe einigebetreffende Kenntnisse auf, ja nach „Schwenter, Deliciae physico-mathematicse.Nürnberg 1636 in 4.“ war nicht nur schon Simon Jacob unsere 3 bekannt,sondern er führt auch, leider ohne Angabe seiner Quelle, den durch

( 2 ) + ( 3 ) + "- + ( n ) ==2n_n “ 1 8

gegebenen Satz auf, welchen wir allerdings jetzt durch Entwicklung von(l + l) n nach dem binomischen Lehrsätze (35) leicht erhalten, der aber lürdamals bereits ein tieferes Eingehen in die Sache verrät. Ferner soll in derwenig frühem Specialschrift „Paul Guldin (St. Gallen 1577 — Gratz 1643; hatteden Taufnamen Habakuk und war erst Goldschmied, dann Jesuit und späterProf. math. Wien und Gratz), Problema arithmeticum de rerum combinationibus.Viennee 1622 in 4.“ unter andern angegeben werden, es würden die aus den23 Buchstaben zusammensetzbaren Wörter über 25 Trillionen Bände ä 1000Seiten ä 100 Zeilen ä 60 Buchstaben füllen. — Als um die Mitte des 17. Jahr-hunderts die Mathematiker begannen, Fragen der sog. Probabilität in Betrachtzu ziehen (49) und das Verhältnis der einem Ereignisse günstigen Fälle zuder Anzahl der möglichen Fälle als mathematische Wahrscheinlichkeit desselbeneinführten, wurde die weitere Entwicklung der Kombinationslehre zur Not-wendigkeit, und so schrieb Pascal etwa 1654 seinen „Traite du triangle arith-metique“, — so disputierte Leibnitz 1666 „De complexionibus“, und liess dannseine „Ars coinbinatoria. Lipsise 1668 in 4.“ folgen, — ja es gab Jakob Bernoulli in seiner „Ars conjectandi. Basilese 1713 (posth.) in 4.“ bereits eine so ziemlichden heutigen Bestand der Kombinationslehre enthaltende Abhandlung, so dasses für unsern Zweck überflüssig erscheint, auch noch die neuere Litteraturbeizufügen. — Die sog. Determinanten lasse ich ganz beiseite.

34 . Die Eigenschaften des Symboles n über h. — Sind

n und h ganze Zahlen, so ist, wie sich leicht verifizieren lässt,

0 = (n-„)

so z. B.

0 = 0

1

und, wenn auch nur h einen ganzen Wert hat,

(o;)+(V)=o=( n r)-(o,)

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