34 — Die Eigenschaften des Symboles n über h. — 91

w+n-h+t

mVh-kh —kh

m—h-fk-fl n — k

-f- -

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uo (*-:-) a• (•> -1)

h

(k) (b-k) + -£ J - Vk+tMhSetzt man in letzterer Formel successive k gleich 0, 1, 2,und addiert, so erhält man die Rekursionsformel

«i.--_±i [(;) ( h ™,) + (;) ( h ■ 2 ) +... + („ 1,) (")'

-C)C) + fi)(h-0+00 4

Und aus dieser geht durch wiederholte Anwendung die merkwürdigeGleichheit

oo+ok-o+'v+oo-m *

hervor. Ferner folgen aus 1 und 2, wenn h eine ganze Zahl ist,

O+Ci'H'+C.

(StD+CD-CJi).

e tc,, also durch Addition

wtvcta-

o+( h r)+fn+-+o-fi+:)

6

e ine ebenfalls höchst interessante Beziehung “.

Za 34: re. Die Beziehung 6 erlaubt z. B. 33:6 noch in etwas andererArt zu erweisen: Setzen wir nämlich voraus, es sei jene 33 : 6 bis zur Klasse lirichtig, so muss es, da man oifenbar alle Kombinationen zur Klasse (h + 1)erhält, wenn man dem ersten Elemente a successive die Kombinationen allerElemente zur Klasse h, dem zweiten Elemente b diejenigen aller Elementemit Ausnahme von a, dem dritten Elemente c diejenigen aller Elemente mitAusnahme von a und b, etc. beifügt, nach 6

(« + h- 1 ) + („ + h- 2 ) + (. + h-3),_ , + (h+,) + (h)_(. + l.)

solcher Kombinationen zur Klasse (h + 1) geben, d. h. es muss das Gesetzauchjfür die nächst höhere Klasse, folglich, da es für die erste Klasse richtigls t, für alle richtig sein.

35. Der binomische Lehrsatz. — Bezeichnet man eineSumme von Produkten, welche den Kombinationen von n Elementenh, c, d, ... zur Klasse h entsprechen, mit C h (b, c, .. .), so erhältUlan offenbar als Produkt der n Binome (a + b), (a+c), (a+d),e ^ c -, den Wert

a" + C 1 (b, c,...). a— 1 + C 2 (b, c,...). a"~ 2 + ... -f C" (b, c,...)und hieraus mit Hilfe von 33:4, wenn b = c = d = .. .

(a + b)“ = a" + ( a— ' . b + (”) a”~ 2 . b 2 + ... + b"

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