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Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik.

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d. h. den sog. binomischen Lehrsatz für ganze und positive Expo-nenten, und es erhält somit das Symbol „n über h“ die Bedeutungeines Binomial-Koefficienten. — Bezeichnen m und n zwei ganz be-liebige, ganze oder gebrochene, positive oder negative Zahlen, so er-hält man durch Multiplikation, wenn h unter dem Summenzeichen 2die Reihe der ganzen Zahlen von 0 bis oo durchläuft, mit Hilfevon 34 : 5

d. h. es ist das Produkt zweier, folglich auch mehrerer solcherReihen wieder eine Reihe derselben Form, und dabei ist der Zeiger(m -f- n -f- ...) des Produktes gleich der Summe der Zeiger m, n, ...der Faktoren. So ist z. B.

^ . b- x 2 (T). b -=2 (;). b- -1

oder Jj? a—— 11 ,b h = (a + bp-"

[2 (“li “)^ • b ‘]" =2(t )«— • - (*+vr

m m

oder Jg (“ji n ) a^ ~ b . b 1 ' = (a + b) T

d. h. es dehnt sich der binomische Lehrsatz auch auf negative undgebrochene Exponenten aus, nur dass offenbar in diesen beidenFällen die Reihe nicht abbricht “. — Bildet man in ähnlicher Weisesuccessive das Produkt (a b -f- c + . . ,) n , so erkennt man leicht,dass seine Glieder die Variationen der Elemente a, b, c, ... zurKlasse n mit Wiederholung darstellen, und dass jedes Glieda“ . b/*. C? ..., wo n — « -f- ß-\- y -f- . . . ist, so oft erscheint, alssich die Komplexion aa ... abb .. . bcc ... c ... permutieren lässt,d. h. n! : (a! ß ! y ! ...) mal. Man kann also

(» + b + o + ...)-=2 ST ^L-»“.w'.ci'... 4

setzen, und in dieser Gleichheit besteht der sog. polynomischeLehrsatz b .

Zu 35: ct. Der binomische Lehrsatz, welcher unbedingt zu den wichtigstenund fruchtbarsten Errungenschaften der höhern Arithmetik gehört, repräsentiertmutmasslich die erste bedeutendere Leistung von Newton und war gewisser-massen der Schlüssel, der ihm schon in jungen Jahren seine grossen Ent-deckungen in der Lehre von den Leihen, etc., ermöglichte. Er ist ihm auchvoll und ganz gutzuschreiben; denn, wenn man auch schon im Altertum einBinom in seine ersten Potenzen zu erheben wusste, — wenn .nachmals Stifelauf fol. 44 seiner „Arithmetica integra“ behufs der Extraktion eine Reihe derBinomial-Koefficienten zusammenstellte und ihr durch unsere 34:2 ausgedrücktesBildungsgesetz erkannte, — wenn später Pascal in dem früher erwähnten

) . a m ~ h • b“ X ( l ) ■ a n - h . b» ^ n ) . a m +"-“. b h 3