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— Der binomische Lehrsatz. —

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Traktate dieselben zn seinem „Triangulum arithmeticnm“ ordnete, — etc., soWar damit der binomische Lehrsatz nicht einmal für ganze und positive Ex-ponenten, geschweige in seiner Allgemeinheit ausgesprochen, durch welche ererst seine Tragweite erhielt. — Der oben gegebene Beweis ist wesentlichn Simon Lhuilier (Genf 1750 — ebenda 1840; Prof. math. Genf ; vgl. Biogr. I.),Elemens raisonnes d’algebre. Geneve 1804, 2 Yol. in 8.“ entnommen. — b. Fürden polynomischen Lehrsatz vgl. „Hindenburg, Der polynomische Lehrsatz, daswichtigste Theorem der Analysis. Leipzig 1796 in 8.“, — für eine Anwendung50 ; 3.

36. Die sog. Interpolationen. — Hat man eine Reihe vonWerten a, welche nach einer bestimmten Regel für equidistanteWerte eines Argumentes berechnet sind, wie z. B. die Logarithmender Zahlenreihe, und bildet, indem man jeden derselben von demn ächstfolgenden abzieht, eine sog. erste Differenzreihe der Aa, —dann aus dieser in entsprechender Weise eine zweite der A 2 a, — etc.,kis schliesslich, wenigstens annähernd, Konstanz eintritt, so hängendiejenigen dieser Grössen, welche in dem unten heigefiigten Schemaln der Geraden I stehen, durch die Reihe

a„ = a 0 + ( 1 ) Aa 0 -|- ( 2 ) A 2 a° -f ( 3 ^ A 3 a 0 + ... 1

Zü sammen “, und es stellt somit diese letztere das der vorliegendenReihe zu Grunde liegende Gesetz dar. Setzt man daher in 1 für na hch irgend einen Wert, wie z. B. eine Bruchzahl, ein, welcher inder Tafel noch keinen Repräsentanten hat, so erhält man einenWert, der ebenfalls in die Tafel passt, und hat damit eine sog.Interpolation vollzogen 6 . — Führt man in 1 die selbstverständlichenWerte A 2 a 0 = A s a_, + A 3 a_,, A 3 a 0 = A 3 a_, -f- A 4 a_,, etc. ein,8 ° erhält man mit Hilfe von 34: 2 die Reihe

a «^a„ + (;) Aao + g) A*a_, + ( n + - 1 ) A 3 a_,-f fj 1 ) A 4 a_ 2 -j- ... 2

Welche man ebenfalls zur Interpolation verwenden kann, wenn mans tatt der Differenzen I die zunächst über oder unter II stehendenDifferenzen benutzen will. — Setzt man ferner

Aa.-j- Aa , A 3 a , -{-A s a — 2 »

:---1, <J 2 a = A 2 a_,, cJ 3 a =---, <J 4 a = A 4 a_ 2 etc. 3

. _l„ A' i a_.+A 2 a 0 , A 4 a_ 2 +A 4 a_,

—-g- 1 , Aa=Aa 0 , A a a=---, A 3 a--=A 3 a_„ A 4 a=- - -4-

e te., und n = n oder n = m -(- 1 / 2 , so erhält man nach 2 0

‘ * + ? • Aa + ^ A- + "j-3 1 A'. + •*.+

m (m 3 — */ 4 ) (m 3 — %)

1 • 2 ■ 3 • 4 ■ ö

A 5 a -

6

0