Die logarithmischen Reihen.

101

3Ü

/iii 3»: a. Die logarithmische Reihe wurde gleichzeitig von NikolausKaufmann oder Mercator (Cismar in Holstein 16.10? — Paris 1687: lebte suc-cessive in Kopenhagen, London und Paris , von letzterm Orte aus sich bei derAnlage der Wasserwerke in Versailles bethätigend) in seiner „Logarithmo-technia. London 1668 in 4.“ und von .Tames Gregory (Aberdeen 1638 — Edin-burgh 1675; Prof, niath. in St. Andrews und Edinburgh ) in seinen „Exercitationesgeometricse. London 1688 in 4.“ gegeben, — sodann wieder von Halley (Phil.Trans. 1695) und andern entwickelt, — in obiger Weise von Euler . — b. DieBezeichnung e wurde durch Euler in seiner „Introductio (I 90) u eingeführt,sie einfach mit „brevitatis gratia“ begründend. — c. Die natürlichen Loga-rithmen werden wegen ihrer aus 77 hervorgehenden Bedeutung für die Qua-dratur der Hyperbel wohl auch hyperbolische genannt. — d. Schon Euler zeigte, wie man nach 4 für k = 1 die natürlichen Logarithmen der Zahlenreiheleicht finden könne: Setzt man nämlich successive x = ’/s> ’/üi 7;> e b u -i sf >erhält man zunächst die Ln von 2, 3 /,, 4 / 3 , etc., und sodann durch Kom-bination auch diejenigen von 3, 4, 5, etc. So erhält man z. B.

Ln 10 = 2,30258 50929 94045 6 .. . und T 1 ■ ■ — 0,43429 44819 03251 8 . . .

’ Ln 10

'reiche (als k und l:k gebraucht) nach 7 die Umsetzung von Lg in Ln, undUmgekehrt, vermitteln. — Die neuere Zeit hat dann allerdings noch rascherfördernde Methoden gefunden: Setzt man z. B. wie Vega in seinem „Thesaurus 1 '

1 + x

1 — x"

y-

°der 2 Lg y — Lg (y -

S( > erhält man mit Hilfe von 4

-1■ 1 ) ■

oder

2y*

■ Lg (, + ■) = | L» ’+■"

Lg y = ~ |^Lg (y — l) + Lg (y j 1)also für y = 2 und y = 3

Lg 2 = Lg 3 -f-

1 1k 7

1

3 • 7 3

Lg 3 = ^ Lg 2

1

3 (2 y 2

9

1

k

1

17

3 • 17 3

'voraus man offenbar, indem man entweder Lg 3 oder Lg 2 eliminiert, Lg 2Und Lg 3, also auch die Logarithmen von 4, 6, 8, 9, 12, etc. leicht berechnenbann. Setzt man ferner y = 5, so giebt 9

Lgö :

■Lg 4 ; Lg 6

1

49

1

3 • 49 1

etc., wobei sogar die spätem Reihen immer stärker konvergieren,lässt sich jede Zahl auf die Form

Ferner

N — 10^' ■ A ■ (1 . a, ■ 10 *) (1 ; a. ä • 10 2 )... IO

bringen, wo ft eine ganze positive oder negative Zahl, A ebenfalls eine ganze(z. B. zwischen 1 und 100 liegende) Zahl, und jede der a,, a ä , ... eine derWahlen 1—9 ist. Kennt man daher einerseits von den A und anderseits von( len Faktoren (1 a • 10 — ") in irgend einem Systeme die Logarithmen bis aufeine gewisse Anzahl von Stellen, so kann der Logarithmus irgend einer Zahl,'udem man sie auf die Form 10 bringt, durch eine blosse Addition erhaltenwerden, — und umgekehrt kann man einen gegebenen Logarithmus in eineSumme von Logarithmen bekannter Zahlen zerlegen, also durch Multiplikationdieser letztem die ihm zugehörende Zahl finden. Hs stellen daher z. B. unsereTab. III”, welche die zehnstelligen natürlichen und gemeinen Logarithmen