44 — Lehre v. Max. u. Min. 11 . d. sclieinbar unbestimmt. Ausdrücken. — ] ] ]

So hat man, wenn für x — a sowohl f (x) als F (x) gleich NullWerden, für ein unendlich abnehmendes h

f (a) _ o _ T - £ (a + h) = f/ (a)

F (a) ' 0 ’ V (a + h) F'(a)

Wodurch ein Mittel gegeben ist, wenigstens in manchen Fällen,den Wert eines scheinbar unbestimmten Ausdruckes zu ermitteln.Sollten auch (' (a) und F' (a) gleich Null werden, so würde derQuotient der zweiten Ableitungen an die Stelle treten, etc.; würdedagegen nur f' (a), oder nur F'(a) gleich Null, so hätte f (a) : F (a)den Wert 0 oder so; etc. h .

Xii 44: n. Für die Geschichte dieser Lehre wird auf „Jacques-DenisChoisy (.Tussy 1700 — Genäve 1850; Prediger und Prof, philos. Genf ), Essaihistorique sur le problemn des Maximums. Geneve 1823 in 4.“ verwiesen, —für die sog. Variationsrechnung, welche sich nicht nur damit befasst, den AVert,einer Grösse zu bestimmen, für welchen eine bekannte Funktion ein Maximumoder Minimum annimmt, sondern auch letztere so festzusetzen sucht, dass siegewissen Anforderungen genügt, teils auf einige später fl 15) behandelte Auf-gaben, teils auf die Specialschriften: „Euler , Methodus inveniendi lineas curvasniaximi minimive proprietat.es gandentes. Lausanne 1744 in 4., und: Elementacalculi variat.ionum (Comm. Petrop. 1766), — Lagrange, Essai d’une nouvellc•net.hode pour determiner les maxima et. les minima des formales integrales(Mise, Taur. 1760), und: Observations sur la methode des variations (Mise. Tanr.1766—69), — H. Gräffe, Commentatio historiam calculi variationum. Gotting*4825 in 4., — Martin Ohm (Erlangen 1792 — Berlin 1872; Bruder von Simonin 157; Prof. math. Berlin), Die Lehre vom Grössten und Kleinsten. Berlin 1825 in 8., — Georg Wilhelm Strauch (Hoppenheim 1811 — Muri 1868; Prof,math. Lenzburg und Muri ), Theorie und Anwendung des sog. Variationscalcnls.Zürich 1840, 2 Vol. in 8., — Cauchy et Moigno, Caloul des variations. Paris 1861 in 8., — Todhunter, A History of the Progress of the Calcnlus of Varia-tion during the 19. Century. Cambridge 1861 in 8., — etc.“ — h. Ist derunbestimmt werdende Ausdruck, wie z. B.

y = |/x — 1 : j/x 2 — 1 woraus für x - 1 v

folgt, von der Art, dass der im Zähler und Neuner für einen bestimmten Fallverschwindende Faktor einen gebrochenen Exponenten hat, so hilft auch einfortgesetztes Differentieren nicht, da alsdann jener Faktor nie verschwindet,fb'gegen kann man in solchem Falle das Verfahren anwenden, in dem fürx = a unbestimmt werdenden Ausdrucke x durch (a h) zu ersetzen, dannnach h zu entwickeln, und zuletzt li 0 zu setzen: Substituiert man z. B. indem oben erwähnten Falle (1 h) für x, so wird

,v = l'h : jf'äh ~ h 2 = j/'h : ^2 ; - h also für h - 0 y —• 0

fü 8 führt sogar dieses letztere Verfahren auch oft da schneller zum Ziele, woüas orstere brauchbar bleibt.

•45. Begriff' der Integralrechnung. — Ist f (x) . dx dasDifferential von F (x), so nennt inan nach dem Vorgänge von