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— Einige Vorkenntnisse ans der Arithmetik. —

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Jak. Bernoulli F (x) das Integral von f(x)dx", und man hat daher,wenn man / als Operationszeichen für das Integrieren wählt,

/ f (x) . dx = F (x) -f- Const. 1

wo Oonstans beigefügt worden ist, da (41) heim Differentieren diekonstanten Glieder wegfallen. Entsprechend lässt sich jede Differen-tialregel in eine Integralregel umsetzen, und man erhält so un-mittelbar (41)

dx

J Co 3 x

Jx-.d X .

m-H

— j ;-C, (e\dx — e'

m rl J

Ö

11

C. 3

ox ('.

j Fox. dx = Si x r C.

r i]y

II

— Ctx

(1

S

!- C.

1 , _ Asi x i-C.

! 1/l-x 2

1-rX--

Atg x

F.

sowie die sog. Rekursionsformeln

/’ f , /"du u fu.dv -

I v . d u = u . v — f u . d v j y = y + I v „ 4

Mit Hilfe dieser Formeln und Kegeln kann mau sodann verhältnis-mässig leicht nach verschiedenen, unter der folgenden Nummer an-gedeuteten Methoden, wieder andere ableiten und sich so schliesslicheine für alle Anwendungen bequeme Sammlung solcher Integral-formeln anlegen 6 .

Xu 45: a. Das Wort Integral scheint zuerst durch Jak. Bernoulli in seinerAbhandlung über die Isochrone (Acta Erud. 1690) gebraucht worden zu sein;dagegen findet sich der Begriff desselben schon früher teils bei Leibnitz , wieaus dessen „Nova methodus pro maximis et minimis (Acta Erud. 1684)“ hervor-geht, teils bei Newton, dessen Fluente ganz mit unserm Integral übereinkömmt.Die weitere Entwicklung der Integralrechnung wurde dann namentlich durchJoh. Bernoulli mit grossem Erfolge in Angriff genommen, und seine Abhand-lung „De methodo integralium (Opera III)“, welche er 1691/2 zu Gunstenseines damaligen Schülers l’Hospital schrieb, kann als erstes Lehrbuch derselbenangesehen werden. Für die spätere Zeit vgl. die in 4 t gegebene Litteratur. —b. Die in 2 und 3 gegebenen Integrale heissen unbestimmte, so lange dieKonstante nicht eliminiert oder aus den Bedingungen der Aufgabe ermitteltist. Eiir letzteres auf 47 und namentlich auch auf verschiedene spätere An-wendungen verweisend, mag hier noch darauf aufmerksam gemacht werden,dass man beim Ableiten eines solchen unbestimmten Integrales nach ver-schiedenen Methoden auch scheinbar verschiedene Werte für dasselbe erhaltenkann; aber ihre Differenz wird sich immer als eine Konstante erweisen undbei nachträglicher Konstantenbestimmnng verschwinden, — dagegen kann sieAnfänger momentan beunruhigen, wie uns z. B. (vgl. Notiz 370) der von BarbaraReinhart (Winterthur 1730 — ebenda 1796; Privatgelehrte in Winterthur ; vgl-Biogr. I) 1762 VI 2 geschriebene Brief zeigt.

40 . Einige weitere Entwicklungen. — Eine Hauptmethode,um weitere Integralformeln zu erhalten, bietet die sog. Substitution