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Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik.
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Laplace zeigte, mit gutem Erfolge Exkursionen benutzt werden: Ist nämlich
U:
t* c , m (1Ue e • dx so folgt
't
dt
+ 2 2 ,* j
:e l * 2t J e -dx —e 1 -e“ 1 =2t-U-
* t
-i «
somit
d*U
dt 2
d*U"dt, 3 "
-o t - ,18U
“ dt*
d 4 U
(1 3 TT
, „ d* II
d" +1 II
. d"U
dt 4
'' dt. 1
+ 23 dt* .
dr • 1
-- 2t • - •
dt,"
(n + l)Tl
n+l “
2t-U n + 2-U„._ 1
wo ii,;
«Vu
h! □ t"
f 2n ■
(ITT"dt'
“-'TI
oder
Hieraus folgt aber
K, _ <1 < -
21 • TT n 1 — (n+1) (2t-Hj.
und somit nach 5 und 7 successive
2t ■ U __1 __ _l '
, ''1
2tU 1
wo
dt"" 1und U 0 = U
n = l: 2t 2
2t • II =
2 t.U — TJ,
1
1
1 —
1+-
_2U,
2 tÜ,
1 1
1 +
2q
1 +
2 <1
3U S
2tu;
1
3q
1 + • • ■
Im übrigen muss für weitere Auseinandersetzungen auf die in 41 verzeichneteLitteratur und die Specialschriften „D. Bierens de Haan, Expose de la theorie,des proprietes et des methodes d’evaluation des integrales deflnies. Amsterdam1862 in 4., und: Tables d’integrales deflnies. Amsterdam 1858 — Leyden 180L2 Vol. in 4., — (Tust. Ferd. Meyer, Vorlesungen über die Theorie der bestimm-ten Integrale. Leipzig 1881 in 8., — etc.“ verwiesen werden, — für die sog-elliptischen Funktionen auf die in 75 gegebenen Notizen.
48. Die Integration der Differentialgleichungen. — Ein eGleichung / iy d ! y \ n
! v-y-ai- .!,.-•• * = 0
nennt man eine Differentialgleichung , und zwar der ersten, zwei-ten , etc. Ordnung , je nach dem höchsten Index des Differential-quotienten, ferner linear, wenn y, dy:dx, etc. nur in erster Potenterscheinen, — jede ihr Genüge leistende, eine ihrer Ordnung ent-sprechende Anzahl willkürlicher Konstanten enthaltende Gleichung
E O, y) = 0
ihr allgemeines Integral. So hat z. B. die lineare Differential-gleichung erster Ordnung
x.dy — y.dx h.dx
x .dy_ y + b
dx J
0
oder
= 0
x 2 x 2
wo 1 : x 2 der ein vollständiges Differential herstellende oder sog-