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— Die Integration der Differentialgleichungen. —

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Wegrierende Faktor ist, sofern a eine willkürliche Konstante be-lehnet, das allgemeine Integral

a= rx.<ly-y<lx b fdx_y_ b odef b

J x 2 ; x 2 x x

So genügt der Differentialgleichung erster Ordnung und zweiten^ la< ^ es y.dx—x . dy = r . ^dx 2 -f-dy 2

We nn a wieder eine willkürliche Konstante ist, das allgemeinentegial y = a . x + r . Vl -f- a 2

a ^er auch das diese Willkürliche nicht enthaltende sog. besondereIntegral x ? _|_ y? _ r 2

Un d ähnlich in andern Fällen a .

’M ii 4S: n. Auch für diesen Abschnitt, dessen Ausbildung namentlich alledie grossen Mathematiker des 18. Jahrhunderts lebhaft beschäftigte, muss ichmich darauf beschränken, an die in 41 gegebene Litteratur zu erinnern undhöchstens noch einige betreffende Specialschriften neuerer Zeit, wie z. B.«Joseph Petzval (Bela in Ober-Ungarn 1807 geh.; Prof. math. Wien , zu dessenersten Schülern ich gehörte), Integration der linearen Differentialgleichungenmit constanten und veränderlichen Coefticienten. Wien 1851—59, 2 Bde. in 4.,— Aloys Mayr (Stadtamhof bei ßegensburg 1807 geh.; Prof. math. u. astr.JViirzburg), Der integrirende Factor und die particnlaren Integrale. Wiirz-burg 1868 in 8., — Bernh. Riemann , Vorlesungen über partielle Differential-gleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen. Herausgegebendurch K. Hattendorf. Braunschweig 1869 in 8., — George Boole (Lincoln 1815geh.; Prof. math. Dublin ), Treatise on differential equations (3. ed. by Tod-hunter. London 1872 in 8.), — A. B,. Forsyth, Lehrbuch der Differential-gleichungen (deutsch durch II. Maser: ßrauuschweig 1889 in 8.), etc.“ zurErgänzung beizufügen.

49 . Die Elemente tler sog. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Unter mathematischer Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ver-geht man das Verhältnis zwischen der Anzahl der ihm günstigenF 1 alle und der Anzahl aller möglichen Fälle“, — unter Erfahrungs-Wahrscheinlichkeit desselben dagegen das Verhältnis zwischen derHäufigkeit seines wirklichen Eintreffens und der Anzahl der ge-machten Versuche, um dasselbe herbeizuführen fi , — und unter demG&Setze der grossen Zahlen die Zusammenfassung der merkwürdigenl'hatsachen, dass schon bei einer relativ geringen Anzahl von Ver-buchen die Erfahrungswahrscheinlichkeit der mathematischen sehrUahe kömmt, dass extreme Fälle sehr selten, aber nach beiden Seitenm gleichem Masse, Vorkommen, und dass systematische, hei Ver-mehrung der Versuche, immer schärfer hervortretende Abweichungenz wischen den beiden Wahrscheinlichkeiten nur infolge von Diffe-re nzen zwischen Voraussetzung und Wirklichkeit auftreten, ja sogar