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nicht daran zweifeln lässt, dass jene Anomalien in den Wertzahlen wenigstensgrösstenteils Folgen dieser Ungleichheiten des Würfels sind. — </. Der ausdem arabischen „azari = schwierig“ entstandene Ausdruck liazard wurde ur-sprünglich zur Bezeichnung der seltensten Würfe, wie etwa 6-0 („le sonnen“der Franzosen ) mit zwei oder gar 6 • f> • 6 mit drei Würfeln, gebraucht, underhielt erst später seine gegenwärtige Bedeutung als „Zufall“ oder „Glückbeim Spiele“. — e. Grössere Versuchsreihen, wie die oben benutzten, scheinenin früherer Zeit nicht ausgeführt worden zu sein, ja es dürften meine „Ver-suche zur Vergleichung der ErfahrungsWahrscheinlichkeit mit der mathemati-schen Wahrscheinlichkeit (Bern . Mitth. 1849—1853), und: Drei Mittheilungenüber neue Würfelversuche (Ztirch. Viert. 1881—83)“ so ziemlich die erstenderselben repräsentieren; dagegen veranlassten einzelne gelegentlich beimSpiele sich ergebende Erfahrungen und Vorkommnisse, dass die Mathematikersich mit diesen Verhältnissen zu befassen begannen, und wenn dies auch vonden Paccioli, Tartaglia, Cardan, etc. noch ohne erheblichen Erfolg geschah, sowurde dagegen ein solcher erzielt, als im Jahre 1654 ein französischer Spieler,der Chevalier de Mere , durch eine betreffende Frage Pascal auf dieses Gebietverwies, — nämlich durch die Frage, wie bei Aufhebung eines Spieles vordessen Vollendung der Einsatz unter die Spieler zu verteilen sei, oder welchensog. Parti jeder der Spieler zu beanspruchen habe. Da allgemeine Regelnfehlten, so musste sich natürlich Pascal an bestimmte Fälle halten, und sowollen auch wir, um den von ihm eingeschlagenen Weg zu veranschaulichen,uns folgende specielle Aufgabe stellen: „Drei Personen a, b, c werfen derReihe nach mit zwei Würfeln; derjenige, welcher die meisten Augen wirft,erhält einen Punkt; giebt ein Gang kein entscheidendes Resultat, so wird erkassiert; wer zuerst 10 Punkte hat, zieht den ganzen Einsatz. Wenn nun dasSpiel in dem Augenblicke abgebrochen werden muss, wo a noch 1, b noch 2und c noch 3 Punkte fehlen, wie gross ist der Parti jedes Spielers?“ Zur Be-antwortung dieser Frage führt nun folgende Betrachtung: Bei dem nächstenGange hätten a, b, c dieselbe Chance gehabt, einen Punkt zu erhalten; erhieltihn a, so war das Spiel fertig, — dagegen nicht, wenn ihn b oder c erhielt;es ist also a vorläufig */ 3 des Einsatzes gutzuschreiben, während um dieübrigen 2 / 3 fortzuspielen ist. Nach einem neuen Gange stehen sich die 6 gleich-möglichen Fälle: ba, bb, bc; ca, cb, ec gegenüber, von welchen zwei dasSpiel zu Gunsten von a und einer zu Gunsten von b erledigen, während dreidasselbe nicht vollenden; es sind also a neuerdings % • % = %, b aber*/a' Vs = V» des Einsatzes gutzuschreiben, während noch % ■ % = >/ 3 im Spielebleiben. Bei dem dritten Gange sind die 9 Fälle: bca, beb, bcc; eba, ebb,ebe; cca, ccb, ccc möglich, von welchen 3 für a, 2 für b.und 1 für cgünstig sind, während 3 unbestimmt bleiben, aber für alle drei Spieler die-selben Chancen bieten; es erhalten also a, b, c der Reihe nach '/, • % = %,Vs ' V» = Vn, */a' ’/n = Vn, nnd der */ a • % — ‘/„ betragende Rest ist schliesslichunter alle drei Spieler gleich zu verteilen. Es ist somit der Parti für
a — V3 + Vs + Vn + Vn = 1J /s7 b — Vo 4 ” Vs7 + Vs7 = Vs? 0 = Vs7 + Vs7 = Vs7womit die gestellte Aufgabe erledigt ist. — Das von Pascal angewandte undauch leicht auf andere Fälle übertragbare Verfahren war nun zwar ganzrichtig, aber etwas weitläufig und unübersichtlich, und es ist als ein wesent-licher Fortschritt zu bezeichnen, dass sein Freund Fermat , welchem er nichtversäumte von der Aufgabe Kenntnis- zu geben, nach unserer jetzigen Aus-drucksweise die Idee hatte, die 11 gegebenen Elemente zu einer der höchsten