49 — Die Elemente der sog. Wahrscheinlichkeitsrechnung. — 121

Anzahl h (1er fehlenden Punkte entsprechenden Klasse mit Wiederholung zuvariieren, und sodann die erhaltenen n' 1 gleichmöglichen Formen als Grund-lage für die Verteilung zu benutzen. Auf diese Weise erhalten wir nämlich

unserm

Beispiele, wo

n — 3 und

h^3

ist, die

27 Formen

aaa

baa

caa

b ba

bac

eba

cca

beb

ehe

aab

aac

abb

abc

bca

acc

bbb

ebb

ech

aba

aca

bab

acb

cab

cac

bbc

bcc

ccc

und können sofort ablesen, dass im ersten Gange 5) Lösungen (sämtlich zuGunsten von a) möglich sind, im zweiten wieder 9 (6 für a und 3 für b), imdritten 6 (3 für a, 2 für b und 1 für c), und nur 3 (bei gleichen Chancenfür a, b, c) einen vierten Gang erfordern, — man erhält also sozusagen un-mittelbar, dass von 27 möglichen Fällen 9 + 6 + 3 + 1 für a, 3 + 2 + 1 für 1)und nur 1 + 1 für c günstig sind, und daraus den Parti wie oben, aber offen-bar in viel vorzüglicherer Weise. — Obschon nun anfänglich die Diskussionüber diese und ähnliche Fragen auf die engsten Kreise beschränkt blieb, — dader von Pascal bei diesem Anlass verfasste „Traite du triangle arithmetique“zwar 1654 gedruckt, aber erst 1665 nach seinem Tode (und dann wieder durchCousin in Bd. 5 der Oeuvres) ausgegeben, und namentlich sein betreffenderBriefwechsel mit Fermat erst nach dem Tode des letztem in dessen „Variaopera mathematica. Tolos* 1679 in fol.“ veröffentlicht wurde, — bekam auchHuygens Wind davon, versuchte sich dann ebenfalls in Lösung entsprechenderAufgaben und schrieb einen kleinen Traktat.„Van rekeningh in speien vangeluck (lurch Schooten in lat. Übers. 1657 in seinen „Exercitationes“ und 1660in der Ursprache in seinen „Oeffeningen“ publiziert)“. Es ist nun anzuerkennen,dass Huygens die Sache schon viel allgemeiner anfasste: Er ging nämlich vondem plausibeln Grundsätze aus, dass, wenn jemand ebensogut a als b, oderauch noch c, etc. gewinnen könne, er die sog. Erwartung l / t (a + b), oder', 3 (a + b + c), etc., besitze, und stellte hiemit übereinstimmend die Regelauf: „Um bei einer beliebigen Anzahl von Spielern den Parti eines derselbenzu bestimmen, ermittle man, was demselben zufallen würde, wenn bei dernächsten Partie der erste Spieler, oder der zweite, oder der dritte, etc. ge-winnen sollte; die Summe aller dieser Grössen getheilt durch die Anzahl derSpieler gibt das Gesuchte“. Hat mau nun z. B. drei Spieler a, b, c, welchen1, 1, 2 Punkte fehlen, und denkt man sich einen neuen Gang gemacht, sowird entweder a, oder b, oder c einen weitern Punkt erhalten und es wirdsich dadurch die Partie entweder auf 0-1-2, oder 1-0-2, oder 1-1-1 stellen.Ln ersten Falle gewinnt a das Ganze oder 1, im zweiten Falle 0, im drittenFalle ’/ 3 , und da alle drei Fälle gleich möglich sind, so ist der Parti von agleich V 8 (1 + 0 + '/ 3 ) = '/oi entsprechend wird b = 4 / 9 und c = '/o ■ Stehtdagegen die Partie anfänglich auf 1-2-2, so hat man nach einem folgendenGange 0-2-2 oder 1-1-2 oder 1-2-1, also mit Benutzung des vorhergehendenFalles a — '/ 3 (1 + % + 4 /,>) = 17 /.„ ; entsprechend b = 3 /ar > c ='Var- Ebensoerhält man successive für 1 ■ 1 • 3 : a = ’ 3 /«,, b — ‘Var, c = */„, — für1 ■ 2 • 3 : a = 19 / s; , b = fi / 2T , c = 2 ; i7 wie oben, — etc., so dass man sich nachdieser hübschen Methode, wie es auch Huygens wirklich ausführte, leicht füreine beliebige Anzahl von Spielern und alle möglichen Fälle eine ganze Tabelleanlegen kann. — Anhangsweise bleibt zu erwähnen, dass man später Erwartung(lucrnm, exspectatio, attente) als das „Produkt aus der Wahrscheinlichkeit zugewinnen und dem zu hoffenden Gewinn“ definierte, — dabei eine Wette oderein Spiel nur dann ehrlich nennend, wenn beide Parteien dieselbe Erwartung